圆周率π可能是我们小孩子接触最早的神奇数字，对数学世界的困惑最早就从这里开始。这篇文章将试图从一个小学生的角度科学的解释圆周率的计算方法。

它是怎么计算来的？

引子

“圆周率是怎么计算出来的？”
“用圆规画个圈，直尺测量圆规两个角之间的距离就是半径，乘以2就是直径；再用绳子贴紧这个圈绕一周，然后把绳子拉直，直尺测量这个绳子长度，最后用绳子长度除以直径就是圆周率派的值。”

——这个回答似乎是完美的，但不好意思，您把数学变成了物理。物理学是从实践中总结规律，总结探索真理；而数学是完全从逻辑中探索规律，数学是不须要实践来验证的。

“圆周率是怎么计算出来的？”
“在很古老的时候，各个国家都认为圆周长是直径的3倍，这个就导致很多测量都不准确，后来我国伟大的魏晋时期数学家祖冲之，发明了割圆术，把派计算到了3.1415926和3.1415927之间，领先了欧洲西方国家1000多年..."
——这个回答更加糟糕，是典型的教孩子答非所问，打太极，你不是数学老师，你是历史老师，是爱国主义政治老师，根本就没回答孩子的问题。

关于祖冲之，这里犯了严重的科学错误，首先，割圆术是汉代刘徽最早提出的；其次，割圆术本身还是物理实践型的测量方法，不可能把π计算到第七位；最后，祖冲之到底用什么办法改进了割圆术？他的技术已经失传，科学家们比较靠谱的看法是，祖冲之的π精度是猜出来的，对他之前的算法进行平均优化加测量验证，最后得到这么一个7位精确度。——这明显不是真正的数学方法，真正提出π的合理计算方法的是比祖冲之晚200来年的古希腊物理学家阿基米德，他以纯数学的方式提出π的值小于22/7而大于223/71 。

科学的方法比正确的答案更重要，下面介绍一种利用Goc实现的比较容易理解的计算π的方法。

从埃及人的谷粒说起

远早于阿基米德和祖冲之，古代埃及人是这样测量圆面积的，用圆规在地上画一个正方形，然后在正方形内画一个最大的圆（内接圆），画好之后在正方形地面上均匀的铺满谷粒，然后把圆里面的谷粒取出来数一数有多少颗，再把剩下在正方形四个角的谷粒取出来数一数。

int main()
{
    p.rr(400,400,8);
    p.oo(200,12);   
    for(int i=0;i<2000;i++){
        p.move(rand()%400-200,rand()%400-200);
        p.oo(5,5);
    }   
}

谷粒比较稀疏的情况

假设谷粒铺满，所有谷粒数量（黄色点）为A，暗绿色圆形背景上的谷粒（黄色点）数量是B颗，整个方形的边长是2，圆半径是1，那么全部谷粒是圆内谷粒多少倍，长正方形的面积就是圆面积的多少倍，根据圆的面积公式，圆的面积π乘以半径平方（稍后文章中会细谈这个公式的证明），我们有：

总数是圆内数量的倍数，等于方形面积是圆面积的倍数

也就是：

所以，我们只要数数谷粒就能计算出π了。

且慢，这不也是物理实践方法吗？

使用网格代替谷粒

数谷粒的方法很不科学，我们把这个方法几何图形化，看下图：

int main()
{
    p.rr(400,400,8);
    p.oo(200,12);   
    for(int x=0;x<40;x++){
        for(int y=0;y<40;y++){
            p.move(-195+x*10,195-y*10);
            p.r(10,10,0);
            p.oo(1,1);
        }
    }
}

我们用均匀分布的黑色小格子代替谷粒，但也发现有很多格子是一半在圆里，一半在圆外，这怎么数呢？
改变一下思想，我们按照格子中心的红点算，如果红点在圆里面我们就认为格子也在圆里面。
我们修改一下代码，让格子少一些：

int main()
{
    p.rr(400,400,8);
    p.oo(200,12);   
    int gezi=50; //每个格子的边长大小
    int huafen=400/gezi; //横向、竖向划分多少格子
    for(int x=0;x<huafen;x++){
        for(int y=0;y<huafen;y++){
            p.move(-200+gezi/2+x*gezi,200-gezi/2-y*gezi);
            p.r(gezi,gezi,0);
            p.oo(2,1);
        }
    }
}

数一下红点，总计64个，圆内52个，使用刚才的公式计算：

4/(64/52)=3.25

我们得到圆周率是3.25，虽然比祖冲之差了很多，但是我们相信，格子越小越多，那么就一定越精确，不信你可以数数看上面那个密密麻麻40x40一共1600个格子的，用它得到的圆周率就是3.14，有些红点可能看不准到底是圆内还是在圆外，可能会有一点点误差，这已经达到汉朝数学家刘徽计算的精度了！

格子越小，精度越高，但问题来了，成千上万的格子怎么数的过来啊？如何判断红点在圆里面，靠眼睛是不科学的。

圆和勾股定理

什么是圆？圆的定义是什么？

圆是所有到圆心的距离小于半径的点的集合。
换句话说，圆里面任意一个地方，到圆心的距离都不会比半径大。

任意红色点到圆心距离（蓝色线）都小于半径

int main()
{
    p.rr(400,400,8);
    p.oo(200,12);   
    for(int i=0;i<100;i++){
        int jiao=rand()%360;
        int chang=rand()%200;
        p.rt(jiao).fd(chang).o(3,1).bk(chang).lt(jiao);
    }   
}

那么，怎么计算蓝色线的长度呢？使用勾股定理。
勾股定理是说任何直角三角形，斜边长度的平方都等于两个直角边分别平方再相加。

下面我们把图放到圆里面看：

int main()
{
    p.showXY(1);
    float xian=200; //斜边长，也是半径长
    p.o(xian,12);   
    float jiao=36;
    float hudu=jiao/180*M_PI; //转为弧度
    float gou=sin(hudu)*xian; //对边直角边长
    float gu=cos(hudu)*xian; //邻边直角边长
    p.c(0);
    p.rt(90-jiao).fd(xian).rt(90+jiao).fd(gou).rt(90).fd(gu);   
}

我们看到a和b正好是圆上红点的竖向和横向位置，c正好是半径，所以一个点如果在圆里面，那么它到圆心的距离c的平方一定小于半径的平方，而我们的圆的半径是1，那么就是距离c的平方小于1的点就一定在圆里面。

也就是说，圆里面的点

否则就是圆外面的点。

判断点是否在圆内？

利用勾股定理和圆的关系我们改进计算π的代码,我们把jisuanpi这个函数单独出来，根据格子大小gezi参数画格子。

• 先创建了格子总数zongshu和圆内格子数yuannei两个变量。
• 然后在画每个格子的时候判断这个格子的横向b平方加竖向a平方是否小于圆半径200的平方
• 如果小于就说明这个点在圆内，把yuannei加1
• 最后画好所有点最终计算4/(zongshu/yuannei)就是π的近似值了。

格子越小计算越准，但计算也越慢，如果输入0.1可能需要十几秒才能算出来。

输入3得到π是3.142349958

float jisuanpi(float gezi){
    float huafen=400/gezi; //横向、竖向划分多少格子    
    float zongshu=huafen*huafen;//格子总数
    float yuannei=0; //圆内点数初始是0，下面加进来
    
    for(int x=0;x<huafen;x++){
        for(int y=0;y<huafen;y++){
            float b=-200+gezi/2+x*gezi; //新点的横向
            float a=200-gezi/2-y*gezi; //新点的竖向
            p.move(b,a);
            if(a*a+b*b<200*200){//是否在圆内
                yuannei++;//新增的点在圆里面
                if(gezi>2){ //格子太小不画点
                    p.oo(2,5);//黄色
                }
            }else{  
                if(gezi>2){//格子太小不画点
                    p.oo(2,1);//红色
                }
            }           
        }
    }
    return 4/(zongshu/yuannei);
}

int main()
{
     for(int i=0;i<1000;i++){
        float a=10;
        p << "请输入格子大小1~100：";
        p >> a;
        p.cls();
        if(a>2){
            p.rr(400,400,8);
            p.oo(200,12);           
        }else{//格子太小就直接画颜色
            p.rr(400,400,1);    
            p.oo(200,5);            
        }       
        float pi=jisuanpi(a);
        
        char str[10];//这两行是把小数变为字符串，突破只显示两位小数的限制
        gcvt(pi, 10, str);  
        
        p.move(0,-220); 
        p << str;
        p.move(0,0);
    }    
}

结语

上面的方法并不能真正算出π的精确值，只是知道，格子越小，小数点后面越精确。这也是π最神奇的地方，的确存在那么一个数值，我们也知道算法，但是我们永远也没法精确知道它是多少，因为我们只有在格子无限小的时候才能算出这个值。

所有的科学家也和我们一样，他们也用了各种算法来计算，即使利用最强劲的计算机把π算到了小数点几亿位几十亿位，也还没有算完。

甚至我们至今不能确定π是不是有可能像10/3=3.333333这样，或者像10/7= 2.142857142857142857...这样循环，我们不知道。也许我们把π计算到数亿亿亿小数之后才会发现它的神奇规律呢？

这篇文章其实还有几个遗留问题：
勾股定理需要证明吗？当然需要。任何定理都必须经过科学证明。勾股定理证明方法很简单，可以直接百度到。
圆面积等于π乘以半径的平方，为什么是这样？怎么证明？仍然需要微积分思路，在下一篇文章中我会尝试找到最简单的解说方法。
科学家真的是按照我们这样分隔格子的方法计算π的吗？割圆术到底是怎么回事？在下一篇文章中我会慢慢和大家一起来用Goc学习新的思路新的方法，用更加科学的算法计算π，比如泰勒展开式。

请参照Goc-圆周率“π”是怎么计算来的？-续

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END