面对开方运算，刘徽的做法是，大胆无畏的开下去，一路用十进制的小数表示。刚开始的时候，每一个数字都有单位，恰好，这些单位之间就是十进制;后来，单位用完了，刘徽称之为“微数”，终于挑一个十进制分数近似一下。所以，这种方法一开始就是十进制运算。用到的单位有“尺寸分厘毫秒忽”，忽以下就是无名微数。结果中没提及的单位，自动补零。
阿基米德的做法是用分数“夹”住结果，先给出 265/153 作为下界，后文给出 1351/780 作为上界，然后，暂时就不需要开方了，反正 3 的算术平方根在这两个数之间，跑不远。他的这个方法，假如古代中国人用的话，一定会称之为“不算之算",或者”不开之开”。他其实是没办法，因为那个时候，十进制不发达，也不流行。十进制的地位可能不如六十进制呢。
现代，六十进制依然会出现在角度、时间等地方。人们选择60进制的原因是，60能够被很多的数字整除。每一个刚接触除法的人，都会讨厌除不尽的情况，后来，分数出现了，就摆放在那里，做“不除之除”。开方也是，刚开始，刘徽开开，阿基米德不怎么开，现代的人都不开了，摆个根号盖住就是了，需要用结果的时候，再开出若干位。
论起进制，中国古代最发达，有十进制，十六进制，十二进制，六十进制，六进制等。“半斤八两”的成语就是诞生在十六进制的情况下，只有在十六进制的时候，半斤才会等于八两。刘徽的年代，还有一种六进制，一步为六尺。单位的换算，本质上就是几进制的切换，因此刘徽的运算恰好刚刚到没有单位的地方。后来祖冲之能够算的更远，是因为他从“亿”这样大级别的单位开始算。对于古人来说，没有单位，就没有进制。
不依赖单位的运算，印度人最发达。他们发明了 0 这样的占位符，有 0 就可以占一个位。而且，印度人发明的阿拉伯数字，书写十分便利。
论起能算，古罗马人比中国人更胜一筹，据说罗马数字可以进行开方运算，我不敢想象。罗马数字放在钟表上是好看，运算起来难道真的比算筹便利吗？
先上阿基米德的图
如图，阿基米德先在圆O上任意选一条半径，OA,。然后过A做OA的垂线，再做角AOB为30度的角。30度是现在的说法，当时说是直角的三分之一。这样一来，OA/AB = SQRT(3) > 265:153
数学公式的输入，历来是个大难题。只能用图片了。
（斜体中文是可怕的，待以后纠正）
然后继续对角AOC进行平分，然后计算比例。这个比例用现代的观点看，在直角三角形中，一个是锐角的相邻直角边比对边，叫做余切;一个是斜边比对边，叫做余割。
以后的步骤，本质上是不断计算半角的余切和余割函数值，是用几何的方法计算，不是代数的方法。
从三角函数可以看的更加直观，计算半角的余切，把原角的余切和余割加起来就行了;计算半角的余割，就用它自身的余切平方，加一，再开方。之前的步骤是在用30度角的余切和余割计算15度角的函数值。以后的步骤是，计算7.5度的，再计算 3.75 度的，1.875度的。
我还是不习惯把对函数值的平方写在函数的右上角，那样看起来感觉是复合函数
