钓鱼题

啥是钓鱼题呢，比如说一些看似简单，实际上很难，大多是没有解析解，只有近似解的题目，来源大多于网友的手写题或者是改编题，意在坑人

1

$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\cdots}}}}$
唔，目前公认是没有解析解的，但是可以判断出来是收敛的

证明收敛：

先证明引理①：
$x_n=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$
证:
易知该数列，单调有界，所以 $x_n$ 极限存在
设 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=m$ 则有 $m=\sqrt{a+m}$
解得 $m=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

证明收敛：
$\begin{aligned} &y_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots}}}\\ =&\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac12+\sqrt{\dfrac{2}{2^2}+\sqrt{\dfrac{3}{2^3}+\cdots}}}\\<&\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac12+\sqrt{\dfrac12+\dfrac12+\cdots}}\\ =&\sqrt{2}\cdot\dfrac{1+\sqrt3}{2}\end{aligned}$

2

$\prod_{n=1}^{\infty}(1-\dfrac{1}{2^n})=(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{2^3})\cdots$

这个题目应该是由 $(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^3})\cdots$ 改编而来的，原本应该是用好多好多次的平方差，但是这个是只能用一次的

这个级数叫做 q-Pochhammer ，但是我没什么研究，就有兴趣的自己去看就好了，这个级数也是没有解析解的

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