1.3 量子力学中的关键概念 Key concepts in QM

前言

本节就来介绍一下，量子力学中用到的关键工具，如波函数，算符，薛定谔方程。

1. 波函数的特征

常用表达式为： $\Psi,\psi(x,y,z,t)$ （变量为：三维坐标和时间t）
波函数通常是一个复数（下一节会介绍强大的复数可以用来干什么）
波函数可以用来描述体系状态（也就相当于经典力学中的物体运动方程，利用波函数就可以得到物体运动的速度，动量等等信息）
波函数的平方可以给出粒子存在的概率。

2. 算符（Operators）是什么？

算符的作用是将波函数 $\psi$ 与可观测量（如能量）联系起来，起到桥梁作用。

比如 $H(算符) \psi = E(能量)\psi$
算符作用到波函数等同于能量作用在波函数上，这样就从矩阵（等式左边）变成了一个数值（等式右边）。
ps：看到这里是不是发现，算符还挺像线性代数 $A·X = \epsilon·X$ 里面的矩阵 $A$ 的。

算符通常用帽子符号 $\hat \Box$ 表示，如 $\hat{x}\ \hat{y}$
算符的表达方式： $\hat{x} (\hat{x} 可以简单表示为“x· ”作用在波函数上时，形式是x \cdot \psi(x))$
动量算符： $\hat p = - \hbar \frac{d}{dx}$ (注意： $\hat{p}\psi$ 不能简单理解成动量 $\hat p$ 乘以 $\psi$ ，而是动量作用于 $\psi$ ，因为 $\hat{p}$ 只有后面加上 $\psi$ 才有意义:“表示对波函数求导”。下面为完整的形式：
$\hat p = - \hbar \frac{d \psi}{dx}$

再次强调啊：算符必须作用在波函数上才有意义！

3. 薛定谔方程

薛定谔方程当然是由薛定谔想到，该方程的产生并没有物理意义，至少我个人觉得和 $F=ma$ 相比，我实在没法直观理解它的物理意义，如果后面理解了，我就把这句话改掉，如果没改，就说明......
另外后面笔记2.20介绍线性代数时可发现，该方程非常符合线性代数的求解习惯，下面就是一个典型的薛定谔方程：
$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}}=\hat{H}\psi\\ =(\hat{KE}+\hat V)\psi \\ =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V(x)\psi$