浅谈Alibaba数学竞赛压轴题解法[上]

写作动机

年仅17岁的姜萍同学击败众多世界名校的选手，成为历史首位冲进决赛的中专生故事在我们数学圈儿内刷屏。
姜萍同学，现就读于江苏省涟水中等专业学校服装设计专业，在此次竞赛中拿下 93 分，位居全球第 12 名。姜萍的数学成绩从初中开始就尤为突出，与其他科目形成“断崖式领先”，但是“偏科”阻断了她通向普通高中的路。进入专科学校之后，她对数学的痴迷显得有些“格格不入”。
据介绍，数学老师向她推荐了同济大学出版的《高等数学》，谢惠民的《数学分析》，以及 Lawrence C. Evans 编写的《偏微分方程》。凭借手机翻译软件和《英汉小词典》，姜萍已经自学了全英文《偏微分方程》的三分之一。在访谈视频中，我注意到一个细节，姜同学读的是原版的纯英文数学书籍，这点特别棒。

题目简介

按照惯例，统计学家自然还是选择概率论与数理统计赛道的题目来睡觉前，活跃活跃思维。

问题6的第一问相对比较简单，考察的知识点主要在于全概率公式的运用以及压缩映射，数列的极限求法。
题目要求总共投掷n次，我们分两种情况来做讨论。
首先第一种情况，在第一次投掷结果为正面，那么需要满足剩余n-1次出现正面的总次数为奇数；
第二种情况，即第一次投掷结果为反面，那么需要满足剩余n-1次出现正面的总次数为偶数。
我们记 $p_n = P(X_n为偶数)$ ，直接套全概率公式得到
$p_{n} = \frac{1}{3}*(1-p_{n-1})+\frac{2}{3}*p_{n-1}$
把上面的式子整理一下
$p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}*(p_{n-1}-\frac{1}{2})$
根据压缩映射概念，我们来解方程 $p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}*(p_{n}-\frac{1}{2})$
所以有 $\lim_{x \to \infty}p_n = \frac{1}{2}$
补充材料，X乎上基于压缩映射法求数列极限的一个很好的回答

第一问所有的参赛选手都应该拿下，这是送分的题目，
第二问，主要考察的知识点在于二项分布，多项分布，切比雪夫不等式，以及不等式的放缩技巧，我们常说数学就是在玩儿不等式，谁不等式玩儿的好，谁水平更高（来自香港科技大学荆炳义教授的经典名言）。
由于在第一问中， $p_{n}(q)$ 为正面概率是q的时候，n次投掷得到偶数个正面硬币的概率，容易得到， $\forall q \neq \frac{1}{2}$ ， $\lim_{x \to \infty}p_n(q) = \frac{1}{2}$
当q = 0.5时，同样有
$p_{n}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}*[1-p_{n-1}(\frac{1}{2})]+\frac{1}{2}*[p_{n-1}(\frac{1}{2})]=\frac{1}{2}$
需要注意的是，上面的式子是仅考虑了两种不同福卡的极限概率。
接下来去考虑三种不同福卡，令概率分别为 $p_a$ , $p_b$ , $p_c$ 。三种福卡各自张数( $X_a$ , $X_b$ , $X_c$ ) ~ ( $2n$ , $p_a$ , $p_b$ , $p_c$ )的多项分布；1号福卡的张数 $X_a$ ~ $B(2n,p_a)$ ;当 $X_a$ = $n_1$ 的时候, $X_b$ ~ $B(2n-n_1,\frac{p_b}{p_b+p_c})$
未完待续

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