问题描述
100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714。
还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197。
注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。
类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。
输入格式
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
输出格式
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！
样例输入1
100
样例输出1
11
样例输入2
105
样例输出2
6
思路
这里的拆分形式可以表达为：N=A+B/C
而A、B、C中，1~9的数字在这三个数中汇总起来只会出现一次
注意是1~9出现且仅出现一次！！！
A、B、C之间是有关系的
- 对A而言他是一个在1N-1（因为是19而不是0~9）之间的数
- B可以改写为(N-A)*C
- B是可以整除C的
- B是可以整除(N-A)的
- 1~9在他们之中出现且仅出现一次
- 注意ABC中不能有重复数字
那么可以先遍历A，得到一个数字M=N-A
比如说
N=100，遍历到A=3，那么M=97
B=M*C，即B=97*C
此时A是一位数字3，那么其他8位数字是可能出现在B和C之中，B又需要大于C，所以B的位数应该大于等于C，那么B至少应该是4位数字，反过来说C至多是4位数字
那么我们用B的所有排列，利用排列8个中选4个，8个中选5个，8个中选6个，8个中选7个，得到所有B的可能，此时B是可以整除C得到97的，那么反过来B可以整除97得到C的，那么首先判断B的候选数是否可以整除M(在这里是97)，如果可以，那么相除得到C，判断得到的C是否出现和B或者和A相同的数字，如果没有，那么这一组数字便是需要的A、B、C，否则继续遍历
实现
遍历A从1到N-1，得到M=N-A
计算A所占的位数
那么B的位数是 (9-A所占位数)/2~9-A所占位数-1
C的位数是 9-A所占位数-B所占位数
遍历B的值，对A中剩余未出现的数字，取B所有可能出现的位数的排列，判断B%M==0，如果是，那么判断整除得到的C的位数是否正确，C中的数字是否与1~9中除了AB出现过的数字一一对应，如果一一对应，那么是一个可能解，否则继续循环
判断是否一一对应
可以先转换为集合，再使用python中的集合方法判断两个集合元素是否相同
排列的实现
利用递归，取返回从下标a到下标b的n个排列，在函数中，遍历将原数组中下标a与下标a+i位置的数调换，调用取从下标a+1到下标b的n-1个排列，与下标a组合，这样就可以得到排列
组合的实现
如果需要得到组合，依然可以利用递归，取返回从下标a到下标b的n个组合，在函数中，遍历将原数组中下标a与下标a+i位置的数调换，注意这里是调用取从下标a+i+1到下标b的n-1个排列，与下标a+i组合，得到组合
Python源代码（未剪枝，自然超时了，只有33分）
import math
N=int(input())
count=0
def get_outset(num_set,standard_set):
# 得到standard列表中num_set没有出现的部分
out_set=[]
for i in standard_set:
if(i not in num_set):
out_set.append(i)
return out_set
def judge(perm,M,num_set):
global count
B = int("".join(perm))
if (B % M == 0):
out_set_C = get_outset(str(B), "".join(num_set))
C = list(str(int(B / M)))
flag = 1
if(len(C)==len(out_set_C)):
for alpha in C:
if (alpha not in out_set_C):
flag = 0
break
set_C=set(C)
if(len(C)!=len(set_C)):
flag=0
if (flag == 0):
return
else:
count += 1
def get_permutation(num_set,a,b,num,M):
# 求排列
if(num==0):
# 这里已经得到了B对应的排列，进行检测
perm=num_set[0:a]
judge(perm,M,num_set)
return
for i in range(a,b):
copy_set=num_set[::]
copy_set[a],copy_set[i]=copy_set[i],copy_set[a] # swap
get_permutation(copy_set,a+1,b,num-1,M)
for A in range(1,N):
M=N-A
if('0' in str(A)):
continue
if(len(str(A))!=len(set(list(str(A))))):
continue
out_set=get_outset(str(A),"123456789")
min_length_B= math.ceil((9-len(str(A)))/2)
max_length_B=9-len(str(A))
for num in range(min_length_B,max_length_B):
get_permutation(out_set,0,len(out_set),num,M)
print(count)
剪枝(66分)慢慢剪
用C的排列，B=M*C，判断B的数字是否符合规则
import math
N=int(input())
count=0
def get_outset(num_set,standard_set):
# 得到standard列表中num_set没有出现的部分
out_set=[]
for i in standard_set:
if(i not in num_set):
out_set.append(i)
return out_set
def judge(perm,M,num_set):
global count
C = int("".join(perm))
B= M * C
if(C>B):
return
out_set_B = get_outset(str(C), "".join(num_set))
flag = 1
if(len(str(B))==len(out_set_B)):
if (len(str(B)) == len(set(list(str(B))))):
for alpha in str(B):
if (alpha not in out_set_B):
flag = 0
break
if (flag == 0):
return
else:
count += 1
def get_permutation(num_set,a,b,num,M):
# 求排列
if(num==0):
# 这里已经得到了C对应的排列，进行检测
perm=num_set[0:a]
judge(perm,M,num_set)
return
for i in range(a,b):
copy_set=num_set[::]
copy_set[a],copy_set[i]=copy_set[i],copy_set[a] # swap
get_permutation(copy_set,a+1,b,num-1,M)
for A in range(1,N):
M=N-A
if('0' in str(A)):
continue
if(len(str(A))!=len(set(list(str(A))))):
continue
out_set=get_outset(str(A),"123456789")
max_length_C= math.ceil((9-len(str(A)))/2)
min_length_C= 1
for num in range(min_length_C,max_length_C):
get_permutation(out_set,0,len(out_set),num,M)
print(count)
