第0章准备知识

1 集合与逻辑记号

概念介绍：

集合：由确定的一些对象汇集的总体

元素：组成集合的对象

集合中元素是唯一的

$x$ 是集合 $E$ 的元素记为： $x \in E$ ，读作 $x$ 属于 $E$ 。

$y$ 不是集合 $E$ 的元素记为： $y \notin E$ ，读作 $y$ 不属于 $E$ 。

如果集合 $E$ 的任何元素都是集合 $F$ 的元素，那么称 $E$ 为 $F$ 子集，记为 $E \subset F$ ，读作 $E$ 包含于 $F$ 。

若 $E \subset F\ and \ F \subset E$ ，那么 $E,F$ 相等，记为 $E=F$ 。

空集合：不含任何元素，记为 $\varnothing$ 。 $\varnothing \subset E$ ，其中 $E$ 为任意集合。

常用集合：

$N$ ：自然数集合

$Z$ ：整数集合 $Z_+$ ：非负整数集合

$Q$ ：有理数集合 $Q_+$ ：非负有理数集合

$R$ ：实数集合 $R_+$ ：非负实数集合

$C$ ：复数集合

集合可以通过罗列元素或者指出元素应该满足条件来给出或者指出其元素应该满足的条件等办法来给出。

例如 $\{1,2,3,4,5 \}$ ， $\{X \in R | x > 3 \}$ 。

还会经常遇到以下形式的实数集的子集：

闭区间： $[a,b]=\{x \in R | a \le x \le b \}$

开区间： $(a,b)=\{x \in R | a < x < b \}$

左闭右开区间： $[a,b)=\{x \in R | a \le x < b \}$

左开右闭区间： $(a,b]=\{x \in R | a < x \le b \}$

集合的运算：

并集： $E \cup F$ ，表示两个集合的并集，即两个集合中所有元素的集合

交集： $E \cap F$ ，表示两个集合的交集，即两个集合中相同元素的集合

差集： $E \verb|\| F$ ，表示属于 $E$ 但是不属于 $F$ 的元素组成的集合

逻辑符号：

设 $\alpha , \beta$ 是两个推断，如果当 $\alpha$ 成立，则 $\beta$ 一定成立，则称为 $\alpha$ 能够推出 $\beta$ ，或者 $\alpha$ 蕴含 $\beta$ ，记为 $\alpha \Rightarrow \beta$ 。

若 $\alpha \Rightarrow \beta$ 且 $\beta \Rightarrow \alpha$ ，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 等价，或者说 $\alpha$ 与 $\beta$ 互为充分必要条件，记为 $\alpha \Leftrightarrow \beta$

$(\exists x \in E)(\alpha(x))$ ：存在 $x \in E$ 满足 $\alpha(x)$ 成立

$(\forall x \in E)(\beta(x))$ ：任意 $x \in E$ 满足 $\beta(x)$ 成立

2 函数与映射

设 $D$ 和 $E$ 都是集合，把 $D$ 的元素与 $E$ 的元素之间的对应关系 $f$ 叫做一个映射

按照这种对应关系，对于集合 $D$ 中的任意一个元素 $\xi$ ，有 $E$ 中的唯一的一个元素 $\eta$ 与之对应，记为： $f: D \rightarrow E$

设 $f: D \rightarrow E$ 是一个映射， $A \subset D,B \subset E$ ，集合 $f(A)={f(x)|x\in A}(\subset E)$ 叫做集合 $A$ 经过映射 $f$ 的像集，集合 $f^{-1}(B)={x|f(x) \in B}(\subset D)$ 叫做集合 $B$ 关于映射 $f$ 的原像集。

如果 $D \subset R,E=R$ ，那么从 $D$ 到 $E$ 的映射就是通常的一元函数。

例1：圆的面积 $S$ 是半径 $r$ 的函数：
$S=\pi r^2$
在这里 $D=R_+,E=R$ ，对应关系由一个代数运算式子来表示。

例2：符号函数（ $Heviside$ 函数）
$H(x)=\left \{ \begin{matrix} -1 & x<0\\ 0 & x=0\\ 1 & x>0\\ \end{matrix}\right.$
例3：狄里克莱（ $Direchlet$ ）函数
$D(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & x \in \text{有理数}\\ 0 & x \in \text{无理数}\\ \end{matrix}\right.$
设 $f: D \rightarrow E$ 是一个映射， $g: G \rightarrow H$ 也是一个映射。如果 $f(D) \in G$ ，那么从 $\xi \in D$ 开始，相继经过 $f,g$ 的作用，就能够得到 $g(f(\xi))$ ，这样的对应关系： $\xi \rightarrow g(f(\xi))$ ，也是一个映射，称为 $g$ 与 $f$ 的复合，记为 $g \circ f$ ，也就是 $g$ 与 $f$ 的复合，定义为
$g \circ f : D \rightarrow H \ \ \ \ \xi \rightarrow g(f(\xi))$
例4： $f(x)=x^2,g(x)=sinx$ ，则有
$g \circ f(x)=sinx^2,f \circ g(x) = sin^2x$

3 连加符号 $\sum$ 与连乘符号 $\prod$

$\sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + ... + x_n$

$\prod_{i=1}^n x_i = x_1x_2\cdot\cdot\cdot x_n$

例5：二项式定理可表示为：
$(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} a^i b^{n-i}$
其中
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac {n!} {k!(n-k)!}$
例6：计算 $\sum_{k=1}^n(k^p-(k-1)^p)$
$\sum_{k=1}^n (k^p-(k-1)^p)=(1^p-0^p)+(2^p-1^p)+...+(n^p-(n-1)^p)=n^p$
性质：
$\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)=\sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^ny_i$

$\sum_{i=1}^n (\lambda z_i) = \lambda\sum_{i=1}^nz_i$

例7：存在恒等式 $k^2-(k-1)^2=2k-1$ ，则将 $k=1,2,...,n$ 等式相加：
$\sum_{k=1}^n(k^2-(k-1)^2) = 2\sum_{k=1}^n k-\sum_{k=1}^n1$
由例6可使得上式变成：
$n^2=2\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1$
可推出：
$\sum_{k=1}^nk= \frac {1} {2} n^2 + \frac {1} {2} n = \frac {n(n+1)} {2}$
这就是自然数求和公式。

例8：存在恒等式 $(k^3-(k-1)^3)=3 k^2 - 3 k+1$ ，可得：
$\sum_{k=1}^n(k^3-(k-1)^3)=3\sum_{k=1}^nk^2-3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1$
和例7类似，可推导出
$n^3=3\sum_{k=1}^nk^2-3(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n)+n$
然后得到自然数平方和公式：
$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
类似根据恒等式 $k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1$ 可得自然数立方和公式：
$\sum_{k=1}^nk^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$

结论：

$\sum_{k=1}^nk^p$ 可以表示成 $n$ 的 $p+1$ 次多项式，最高项系数为 $\frac {1} {p+1}$ ，常数项为0，即
$\sum_{k=1}^nk^p= \frac {1} {p+1} n^{p+1} + c_1n^p+c_2n^{p-1}+...+c_pn$
对于给定的 $p$ ，上面公式中的系数 $c_1,c_2,...,c_p$ 都可以具体算出，此处不加赘述。