说明

在由L1-median算法向Bayes算法过渡的时候，概率化的迭代是十分重要的一步。
在L1算法分析和实现(2)中，我们推导了L1算法中的迭代式的由来，因而本章我们就针对Bayes中的概率计算和迭代式进行推导。

定义

为了方便接下来的讨论，我们先进行一些定义:

整个点云的点的集合为 $Q=\{q_j\}_{j\in J}$ ， $q_j$ 代表点云中的第 $i$ 个点
对点云进行分块后得到的分块集合为 $C=\{c_m\}_{m\in M}$ ， $c_m$ 代表第 $m$ 个分块，被分到 $c_m$ 当中的点云被定义为 $Q_m=\{q^m_j\}_{j\in J^m}$
整个点云的采样点集合为 $X=\{x_i\}_{i\in I}$ ， $q_i$ 代表点云中的第 $i$ 个采样点，其中骨架点（被固定为骨架的采样点）的集合为 $X^*=\{x_i\}_{i\in I^*}$ ，被分类到分块 $c_m$ 的骨架点集合为 $X_m^*=\{x^m_i\}_{i\in I^*_m}$
$\theta_m$ 代表 $c_m$ 的相关参数集合

P.S. 骨架点分类方法如下: 首先计算每个 $c_m$ 的中心点 $p_m$ ，然后将骨架点归类到最近的中心点所在的类中

概率计算

在Bayes的概率化迭代过程中，我们需要一种评估骨架合理概率的方法，于是我们基于高斯分布假设，提出如下算法：

对于每块分块 $c_m$ ：

计算 $Q_m$ 内的每个点 $q^m_j$ 到 $X_m^*$ 中最近的骨架点 $x^m_i$ 的距离 $||q^m_j-x^m_i||$

计算分块内的距离均值: $\mu_{m}=\frac{\sum_{i \in I_{m}^{*}}\left\|q^m_j-x^m_i\right\|}{\left|I_{m}^{*}\right|}$

计算分块内的距离方差: $\sigma_{m}=\sqrt{\frac{\sum_{i \in I_{m}^{*}}\left(\left\|q^m_j-x^m_i\right\|-\mu_{m}\right)^{2}}{\left|I_{m}^{*}\right|}}$

计算每个距离 $||q^m_j-x^m_i||$ 在一维高斯分布(正态分布)中的概率：

$P(||q^m_j-x^m_i||)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{m}} e^{-\frac{(||q^m_j-x^m_i||-\mu_{m})^{2}}{2 {\sigma_m}^2}}$

最后计算各个距离的概率均值，得到第m个分块的骨架概率:

$P(X|\theta_m)=\frac{\sum_{j\in J^m}P(||q^m_j-x^m_i||)}{|J^m|}$

整个点云的骨架合理概率为各个分块的加权平均：

$P(X|\Omega)=\frac{\sum_{m\in M}|Q_m|P(X|\theta_m)}{|Q|}, \Omega=\{\theta_m\}_{m\in M}$

概率化迭代

L1-median使用的迭代式如下：
$x_{i}^{k+1}=\frac{\sum_{j \in J} q_{j} \alpha_{i j}^{k}}{\sum_{j \in J} \alpha_{i j}^{k}}+\mu \sigma_{i}^{k} \frac{\sum_{i^{\prime} \in I \backslash\{i\}}\left(x_{i}^{k}-x_{i^{\prime}}^{k}\right) \beta_{i i^{\prime}}^{k}} {\sum_{i^{\prime} \in I \backslash\{i\}} \beta_{i i^{\prime}}^{k}} \\ \alpha_{i j}=\frac{\theta\left(\left\|x_{i}-q_{j}\right\|\right)} {\left\|x_{i}-q_{j}\right\|},\: \beta _{ii^,}=\frac {\theta (||x_i-x_{i^,}||)} {||x_i-x_{i^,}||^3} \tag {1}$
对于点 $q_{j}$ ，将它所在的分块 $c_m$ 的骨架合理概率 $P(X|\theta_m)$ 设为 $\delta_j$

在确定了骨架合理概率的计算方法之后，我们对L1中的迭代式进行了一些改动：
$x_{i}^{k+1}=\frac{\sum_{j \in J} q_{j} \delta_j\alpha_{i j}^{k}}{\sum_{j \in J} \delta_j\alpha_{i j}^{k}}+\mu (1-P(X|\Omega))\sigma_{i}^{k} \frac{\sum_{i^{\prime} \in I \backslash\{i\}}\left(x_{i}^{k}-x_{i^{\prime}}^{k}\right) \beta_{i i^{\prime}}^{k}} {\sum_{i^{\prime} \in I \backslash\{i\}} \beta_{i i^{\prime}}^{k}} \tag {2}$

对于平均项添加了概率因子 $\delta_j$ 之后，相当于neighborhood size内的局部L1中值迭代(通过 $\alpha_{i j}^{k}$ 中的权重函数实现)的基础上，添加了不同分块的概率化控制。使得合理性较低的分块内的点具有更低的影响力，进而使采样点更倾向于停留在分布更合理的位置，减少了点云复杂形状造成的迭代中的“抖动”现象，从而实现迭代过程的加速。

对于排斥项添加了概率系数 $(1-P(X|\Omega))$ 后，迭代过程的排斥作用将会随着点云骨架合理性提升而不断降低，伴随着采样点平均项向“合理”区域的靠拢，同样减少了点云上采样点迭代的抖动，实现了迭代过程的加速。

代码实现

[to-do]

总结

这似乎算得上很前沿的研究了。。。写文章发出来会不会被人抄去发论文（害怕.jpg）

L1算法分析和实现(3) 概率迭代的具体推导

L1算法分析和实现(3) 概率迭代的具体推导

说明

定义

概率计算

概率化迭代

代码实现

总结