这里我不会去讨论什么是函数，下面是《托马斯微积分》中给出的对函数的定义。值得声明的是，定义中的集合Y和集合D都是数的集合，比如自然数集、整数集或者实数集等。
为了搞清楚函数极限是什么？我将思考以下六个问题：
1.什么是函数极限？
2.为什么是函数极限？
3.函数极限有什么性质？
4.极限在什么情况下存在？
5.函数极限有什么用以及怎么用？
6.为什么函数极限会有这些用处？
先来看第一个问题：函数极限是什么？
这其实是一个头脑风暴或者借助书籍和网络查询的过程，我们会收集到大量函数极限的例子。
函数极限是这样的：
这样的：
这样的：
或者这样的：
这个时候我们发现，函数极限是一个数，而且是一个常数。
除了知道函数极限是一个数之外，我们还可以总结到：函数极限是函数的自变量趋近于某个值的时候，因变量的渐近性质。也就是说，当自变量趋近于某个特定数值C的时候，因变量也会相应地趋近于某个特定数值L（当它存在的时候）。C和L具有一一对应的关系，并且都是常数（这里我们将∞理解为广义的常数）。也就是说函数极限就是研究函数在某个点的性质，但值得注意的是，函数并不需要取到这个点，也就是说函数在点x=C处是否有极限跟函数在x=C处是否有定义没有任何关系。
好了，到了这里我们对什么是函数极限已经有了底了，虽然暂时不能一口气说出函数极限到底是什么，但至少我们能举出一些函数极限的例子。
下面来看第二个问题：为什么以上列出的例子是函数极限？
这是分类的自我提问，目的是将函数极限这类东西与其他东西分离开来，也就是需要给它下个定义。给任何东西下定义都不是一件容易的事情，尤其是那些我们不熟悉的东西。来看看同济第七版《高等数学》怎么定义极限的。
再看一下《托马斯微积分》中给出的正式的极限定义。
不管是中文定义和英文定义，函数极限的定义都显得不太友好，看起来根本不知所云。我们将定义一一拆解，这里我想强行分析一下这样定义的合理性。
这里我们需要关注五个数和两个区间。常数L是函数f(x)无限趋近于常数x0时所体现出来的性质，也就是极限。当我们固定一个合适的大于0的常数ε，获得一个开区间(L-ε,L+ε)，如果能够在x0的周围找到这样的一个开区间，这个区间以δ（＞0）为半径，即开区间(x0-δ，x0+δ)，使得当x落在这个开区间内时，其函数值f(x)落入到(L-ε,L+ε)区间里，我们可以称f(x)趋近于L。保证ε＞0的前提下，ε取得越小，对应取得的δ也越小（因为要让f(x)落入(L-ε,L+ε)的内部）,函数值f(x)也越靠近L。当ε不能再小的时候（想要多小就有多小），函数值f(x)就会无限靠近L，而没有比L离函数值f(x)更近的数了，我们称这个最接近函数值的数L为函数f(x)趋于点x0的极限。这就是函数极限定义。从这里也可以看出，极限L是专属于x0这一点的性质。
第三个要思考的问题是：函数极限有哪些性质？
1.函数极限是一个常数
2.函数极限具有唯一性
3.函数极限的局部有界性
4.函数极限的局部保号性
5.极限与函数关系定理
