1.概念理解

蚁群算法(Ant Colony Algorithm,ACA)的基本原理来源于自然界蚂蚁觅食的最短路径原理。蚂蚁视觉不发达，它如何能在没有提示的情况下找到食物源到巢穴的最短路径，并在环境发生变化后，自适应地搜索新的最佳路径？

以下图为例，A是蚂蚁巢穴，B是食物源。
一开始蚂蚁可能不知道哪条路是最短的，所以走ADB和ACB路径的概率是一样的，而蚂蚁在走过的路上会释放一种特有的分泌物——信息素。已知走ADB路径的蚂蚁会更快地到达B，所以在之后的某一时刻，待在A处的蚂蚁会渐渐感觉路径ADB上的信息素的浓度要比路径ACB的大(简单理解就是，同一段时间内ADB路径上可能有10只蚂蚁已经到B，ACB路径上只有8只蚂蚁到B，自然ADB上的信息素更多一些)，所以在选择路径上会更偏向ADB，随着时间的推移，几乎所有蚂蚁都会选择路径ADB搬运食物，如下图(c)所示。

2.算法流程

①对相关参数进行初始化，包括蚁群规模、信息素因子、启发函数因子、信息素挥发因子、信息素常数、最大迭代次数等，以及将数据读入程序，并对数据进行基本的处理，如将城市的坐标位置，转为城市间的矩阵。
②随机将蚂蚁放于不同的出发点，对每个蚂蚁计算其下一个访问城市，直至所有蚂蚁访问完所有城市。
③计算各个蚂蚁经过的路径长度Lk，记录当前迭代次数中的最优解，同时对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。
④判断是否达到最大迭代次数，若否，则返回步骤2，否则终止程序。
⑤输出程序结果，并根据需要输出程序寻优过程中的相关指标，如运行时间、收敛迭代次数等。

适合解决组合优化问题。

3.举例

数据来源
以上面网址TSPLIB的berlin52为例，berlin52有52座城市的数据，其坐标数据如下图，数据存于Chap9_citys_data.xlsx中：

%% 数据准备
% 清空环境变量
clear all
clc
% 程序运行计时开始
t0 = clock;
%导入数据
citys=table2array(readtable('Chap9_citys_data.xlsx','Range','B2:C53'));
% 计算城市间相互距离
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      %设定的对角矩阵修正值
        end
    end    
end
% 初始化参数
m = 75;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
vol = 0.2;                           % 信息素挥发(volatilization)因子
Q = 10;                              % 常系数
Heu_F = 1./D;                        % 启发函数(heuristic function)
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 100;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  
Limit_iter = 0;                      % 程序收敛时迭代次数

% 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);    % 参加说明1（程序底部）
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Heu_F(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
            Pc = cumsum(P);     %参加说明2(程序底部)
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          Limit_iter = 1;
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
              Limit_iter = iter; 
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-vol) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);
end
% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
Time_Cost=etime(clock,t0);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
disp(['收敛迭代次数:' num2str(Limit_iter)]);
disp(['程序执行时间:' num2str(Time_Cost) '秒']);

% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...  %三点省略符为Matlab续行符
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['ACA最优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b')
legend('最短距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('算法收敛轨迹')
%--------------------------------------------------------------------------
% 程序解释或说明
% 1. ismember函数判断一个变量中的元素是否在另一个变量中出现，返回0-1矩阵；
% 2. cumsum函数用于求变量中累加元素的和，如A=[1, 2, 3, 4, 5], 那么cumsum(A)=[1, 3, 6, 10, 15]。

输出结果

最短距离:7791.3756
最短路径:46  44  34  35  36  39  40  38  37  48  24   5  15   6   4  25  12  28  27  26  47  13  14  52  11  51  33  43  10   9   8  41  19  45  32  49   1  22  31  18   3  17  21  42   7   2  29  30  23  20  50  16  46
收敛迭代次数:34
程序执行时间:9.395秒