高等数学：导数与微分题选(4)

1. $f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)(n\ge 2)$ ,求f'(0)

解：

$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x-0}$

$=\lim\limits_{x\to 0}[(x+1)(x+2)\cdots(x+n)]=n!$

2.设f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是（）

$(A)\lim\limits_{h\to +\infty}h[f(a+{1\over h})-f(a)]存在$

$(B)\lim\limits_{h\to 0}{f(a+2h)-f(a+h)\over h}存在$

$(C)\lim\limits_{h\to 0}{f(a+h)-g(a-h)\over 2h}存在$

$(D)\lim\limits_{h\to 0}{f(a)-f(a-h)\over h}存在$

解：

$\lim\limits_{h\to +\infty}h[f(a+{1\over h})-f(a)]存在\Rightarrow f(x)右可导$

$(B)(C)不能保证连续$

$(B)取f(x)=\begin{cases}1\qquad x\neq 0\\ 0\qquad x=0\end{cases}显然\lim\limits_{h\to 0}{f(0+2h)-f(0+h)\over h}=0,但f(x)在x=0处不可导$

$(C)取f(x)=|x|,显然\lim\limits_{h\to 0}{f(0+h)-g(0-h)\over 2h}=0,但f(x)在x=0处不可导$

$(D)\lim\limits_{h\to 0}{f(a)-f(a-h)\over h}=\lim\limits_{-h\to 0}{f(a+(-h))-f(a)\over -h}存在\Rightarrow f'(a)存在$

3.周期为5的连续函数f(x)在x=0的某个领域内满足 $f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)$ ,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程

解：

$\because f(x)连续$

$两端x\to 0,取极限得$

$f(1)-3f(1)=0\Rightarrow f(1)=0$

$又\lim\limits_{x\to 0}{f(1+sinx)-3f(1-sinx)\over x}=8$

$\lim\limits_{x\to 0}{f(1+sinx)-3f(1-sinx)\over x}$

$=\lim\limits_{x\to 0}{f(1+sinx)-3f(1-sinx)\over sinx}$

$令t=sinx得$

$上式=\lim\limits_{t\to 0}{f(1+t)-3f(1-t)\over t}$

$=\lim\limits_{t\to 0}{f(1+t)-f(1)\over t}+3\lim\limits_{t\to 0}{f(1-t)-f(1)\over -t}=4f'(1)$

$\therefore f'(1)=2$

$\because f(x+5)=f(x)$

$\therefore f(6)=f(1)=0$

$f'(6)=\lim\limits_{x\to 0}{f(6+x)-f(6)\over x}$

$\lim\limits_{x\to 0}{f(1+x)-f(1)\over x}=f'(1)=2$

$\therefore 曲线y=f(x)在点(6,f(6))即(6,0)处的切线方程为$

$y-0=2(x-6),即2x-y-12=0$

4.在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时,从飞机到机场的水平地面距离为L,假设飞机下降的路径为三次函数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 的图形,其中 $y|_{x=-L}=H,y|_{x=0}=0$ ,确定飞机的降落路径

解：

$y|_{x=0}=0\Rightarrow d=0,y|_{x=-L}\Rightarrow -aL^3+bL^2-cL=H$

$y'|_{x=0}=0\Rightarrow c=0,y'|_{x=-L}=0\Rightarrow 3aL^2-2bL=0$

$解得a={2H\over L^3},b={3H\over L^2}$

$\therefore 降落路径为y=H[2({x\over L})^3+3({x\over L})^2]$

5.甲船以 $6\;km/h$ 的速率向东行驶,乙船以 $8\;km/h$ 的速率向南行驶,在中午十二点整,乙船位于甲船之北 $16\;km$ 处,则下午一点整两船相离的速率为多少

解：

$记中午十二点整时刻为t=0$

$t=0时甲船所在位置作为原点建立直角坐标系,则$

$甲船位置x(t)=6t,乙船位置y(t)=-8t+16$

$甲乙两船距离s(t)=\sqrt{x^(t)+y^2(t)}$

$=\sqrt{36t^2+(16-8t)^2}$

$s'(t)={100t-128\over \sqrt{36t^2+(16-8t)^2}}$

$\therefore 下午一点整两船相离的速率为$

${d\over dt}s(t)|_{t=1}=s'(1)=-{14\over 5}=-2.8(km/h)$

6.利用函数的微分代替函数的增量求 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值

解：

$\sqrt[3]{1.02}=\sqrt[3]{1+0.02}$

$\approx \sqrt[3]{1}+(\sqrt[3]{x})'|_{x=1}\cdot 0.002=1+{0.02\over 3}\approx 1.0067$

7.已知单摆的振幅周期 $T=2\pi\sqrt{l\over g}$ ,其中 $g=980\;cm/s^2$ ,l为摆长(单位为cm),设原摆长为 $20\;cm$ ,为使周期T增大 $0.05\;s$ ,摆长约需加长多少

解：

$当l=20cm时,T=2\pi\sqrt{20\over 980}$

$\Delta T=0.05s且l={g\over 4\pi^2}\cdot T^2$

$\therefore \Delta l\approx dl={g\over 4\pi^2}2T\Delta T={980\times 0.05T\over 2\pi^2}$

$={980\times 0.05\over 2\pi^2}\cdot 2\pi\sqrt{20\over 980}={7\over \pi}\approx 2.23(cm)$

$\therefore 摆长约需加长2.23cm$

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