微分方程概要

一、一阶齐次线性微分方程

形如
$\frac{d y}{dx}+P(x)y=0$
其通解为
$y=c e^{-\int P{(x)}dx}$

二、一阶非齐次线性微分方程

形如
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$
其通解为
$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

常数变易法推导过程：

已知一阶非齐次线性微分方程如
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$

将原方程改为一阶齐次线性微分方程，即
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=0$
并求出其通解，即
$y=c e^{-\int P{(x)}dx}$

在一阶齐次线性微分方程的通解形式中，将其中的常数 $C$ 变为一个关于 $x$ 的函数即
$y=c(x) e^{-\int P{(x)}dx}$

根据形式，求解 $y$ 的导数，即
$y^{\prime}=C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}$

将函数 $y$ ， $y^{\prime}$ 代入一阶非齐次线性微分方程的形式之中，即
$C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

$C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

$C^{\prime}(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$

$C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$

将此 $C(x)$ 替代原来一阶齐次线性微分方程 $y=c e^{-\int P{(x)}dx}$ 的 $C$ ，最终就能得到一阶非齐次线性微分方程的通解形式，即

$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

三、可降阶的高阶微分方程

形如 $f(x,y^{\prime},y^{\prime \prime})=0$

例1. 求 $xy^{\prime \prime}+2y^{\prime}=0$ 的通解

解：令 $y^{\prime}=p$ ， $y^{\prime \prime}= \cfrac {dp}{dx}$ ，带入原方程

得 $x \frac{d p}{d x}+2 p=0\Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2}{x} p=0$

即其通解为 $p=C_{1} e^{-\int \frac{2}{x} dx}=C_{1} e^{-\ln x^{2}}=C_{1} e^{\ln \frac{1}{x^{2}}}=\frac{C_{1}}{x^{2}}$

即 $y^{\prime}=\frac{C_{1}}{x^{2}}$

故 $y=-\frac{C_{1}}{x}+C_{2}$

形如 $f\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0$

思路：令 $y^{\prime}=p$ ， $y^{\prime \prime}= \cfrac {dp}{dx}$ ，由此可得 $f\left(y, p, \frac{d p}{d x}\right)=0$

再令 $y^{\prime \prime}=\frac{d p}{d x}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d p}{d y}=p \frac{d p}{d y}$ ，带回原方程，可得 $f\left(y, p, p \frac{d p}{d y}\right)=0$

四、线性微分方程的基本结论

首先，我们有如下定义

n阶齐次线性微分方程形如
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=0\tag{$*$}$
n阶非齐次线性微分方程形如
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f(x)\tag{$**$}$
那么，我们有如下结论：

如果 $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ，则 $(**)$ 也能够写成
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f_{1}(x) \tag{$***$}$

$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f_{2}(x)\tag{$****$}$
如果 $\varphi_{1}(x),···,\varphi_{s}(x)$ 为 $(*)$ 的解

则 $y=c_{1}\varphi_{1}(x)+···+c_{s}\varphi_{s}(x)$ 也为 $(*)$ 的解
如果 $\varphi_{1}(x),···,\varphi_{s}(x)$ 为 $(**)$ 的解，那么有如下两个结论：
- $c_{1}\varphi_{1}(x)+\dots+c_{s}\varphi_{s}(x)为(*)的解\Leftrightarrow C_{1}+\dots+C_{s}=0$
- $c_{1}\varphi_{1}(x)+\dots+c_{s}\varphi_{s}(x)为(**)的解\Leftrightarrow C_{1}+\dots+C_{s}=1$
如果 $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ 分别为 $(*),(**)$ 的解，则 $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ 为 $(*)$ 的解
如果 $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ 分别为 $(***),(****)$ 的解，则 $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ 为 $(*)$ 的解

五、可以求解的线性方程

二阶常系数齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$
此时，可以求解其特征方程
$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$
- $\Delta>0\Rightarrow \lambda_{1}\neq \lambda_{2}$
  
  则其通解形式为
  $y=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x}$
- $\Delta=0\Rightarrow \lambda_{1}= \lambda_{2}$
  
  则其通解形式为
  $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x}$
- $\Delta<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\alpha \pm i \beta$
  
  则其通解形式为
  $y=e^{\alpha x} \cdot\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)$
三阶常系数齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime \prime}+p y^{\prime \prime}+q y^{\prime}+r y=0$
此时，可以求解其特称方程
$\lambda^{3}+p \lambda^{2}+q \lambda + r=0$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆为实数单根
  
  则其通解形式为
  $y=C_{1}e^{\lambda_{1} x}+C_{2}e^{\lambda_{2} x}+C_{3}e^{\lambda_{3} x}$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆为实数，但是 $\lambda_{1}=\lambda_{2} \neq \lambda_{3}$
  
  则其通解形式为
  $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x}+C_{3}e^{\lambda_{3} x}$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆为实数，且 $\lambda_{1}=\lambda_{2} = \lambda_{3}$
  
  则其通解形式为
  $y=(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2})e^{\lambda_{1}x}$
- $\lambda_{1}\in R,\lambda_{2,3}=\alpha \pm i \beta$
  
  其通解形式为
  $y=C_{1}e^{\lambda_{1} x}+e^{\alpha x} \cdot\left(C_{2} \cos \beta x+C_{3} \sin \beta x\right)$
二阶常系数非齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$
求解思路：
- 求解对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解，即
  $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$
- 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解