在我们的生活中，很容易遇到各种各样的平面图形，我们需要了解他们的面积公式。
不过，我们不需要全部都会，因为我们可以推到出来他们，只需要知道最基本的图形面积公式就可以了。比如长方形和正方形，我们虽然已经知道了面积公式是长乘宽，但需要证明出来似乎无从下手，这里，我要告诉你三个常见的证明方法，第一个是矩阵图法，如果有一些棋子排列成矩阵图，每行有5个，有3行，那一共就有5+5+5=15个棋子，用方法表示就是5x3个棋子。现在，我们把棋子换成测量基准，还是同样的原理，我们可以把5厘米看成5个测量基准，3厘米看成“3个5个测量基准”这样就解释了长方形的面积公式了。还有两个方法，一个是平移变换，这次是普遍情况，把长换成a，宽换成b。将一个边长为1cm2的测量基准沿着长向右平移a次，再整体沿着宽向上平移b次刚好占满了长方形，它平移了axb次，所以长方形的面积公式就是长x宽。另一个是拉伸变换，将一个测量基准沿着长向右拉伸成原来的a倍，再向上沿着宽拉伸到原来的b倍一共拉伸了axb倍，也刚好填满了整个图形。
我们已经知道了如何求出长方形的面积，那其他图形的面积该怎么求呢？我们可以把我们已知的运算当成运算工具，通过长方形的割补变换来求其他图形的面积，比如我们可以把长方形沿着对角线割开，或把一个直角三角形补上和它一样大小的三角形，形成一个长方形，它的面积是三角形三角形的两倍，若能求出长方形的面积，再用长方形的面积÷2， 就是三角形的面积。是如果这个长方形的长是6厘米，宽是2厘米，那三角形的面积就是6×2÷2=6厘米。我们再回过来看，这个长方形的长其实和三角形底的长度是一样的，而长方形的宽其实和三角形的高也是一样的，所以，我们能断定，直角三角形的面积公式是底乘宽÷2（图1）
那普通三角形的面积也是这个公式吗？我们可以如图这样把三角形沿着一条在图形内的高割开，分成两个直角三角形，而三角形1的面积是三角形1自己的底，乘上高再÷2就是三角形1的面积。三角形2的面积也是如此，如果用乘法分配律，把“×高÷2”看成一个整体，在找到相同的“乘高÷2”，就会得到“（三角形1的底+三角形2的底）乘高÷2这个式子，在返回来看，这个图形的三角形1和三角形2的底合并起来，就是整个三角形的底，所以普通的三角形面积公式也是底（整个图形的底）乘高÷2。不知不觉间，我们又割补了三角形。（图2）
在我们的生活中，平行四边形也很常见，我们该怎么求平行四边形的面积呢？我推荐使用其中两种方法，第一种大家都听过，就是沿着平行四边形的一条高割成一个梯形和另一个三角形，把那个多余的三角形补到梯形正好缺少的那一部分，就能形成一个完整的长方形，而一旦你仔细看看这个长方形的长和宽，就会发现长方形的长就是平行四边形的底，而长方形的宽就是长方形的高，所以平行四边形的面积是底乘高。第二种方法就更简单了，把平行四边形沿着一条对角线割开，割成两个完全相同的三角形，每个三角形的面积都是底乘高÷2，两个相同的三角形的面积就是底乘高÷2×2，也就是底乘高。所以平行四边形的面积公式就是底乘高。（图3）
梯形是让我们很懊恼的图形，它的四条边都不一定完全相等，连周长都需要知道这四条边的长度，那面积不就更难求了？其实不是的。我们还是可以按照求平行四边形面积的方法来求梯形的面积，我们想：既然三角形能拿两个三角形拼成一个平行四边形或者长方形，那两个梯形拼起来会变成什么图形呢？答案也是平行四边形或者梯形，如果这两个梯形拼成了一个平行四边形，那么平行四边形的面积是底乘高，所以梯形面积就是平行四边形的底乘上高再÷2，我们再仔细观察，平行四边形的底就是梯形的一个上底和梯形的下底，而平行四边形的高也是梯形自己的高，所以梯形的面积就是（上底+下底）乘高再÷2 。（图4）
就像这样的方法，我们可以求出来越来越多图形的面积，这就是图形的奥妙之处，用已知求未知，再用刚解出来的未知当作已知或工具求出来其他的未知，直到把所有的未知都变成已知，这就是几何的奥妙之一。
