第一章 整数的可除性

1. 整除的概念 · 带余数的除法

1.1 定义：

设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q，使得等式

a=bq                                   （1）

成立，我们就说b整除a 或a能被b整除。 记做b|a, 我们把b叫做a的因数，把a叫做b的倍数。

如果（1）中的 q不存在，我们就说 b不能整除a 或 a不能被b整除，记做 a |\ b.

1.2 定理1：

b | a, c | b,  =>  c | a

1.3 定理2：

若 a，b都是m的倍数 ， 则 a ± b 也是 m 的倍数。

1.4 定理3：

若若a1,a2,a3,…,an 都是m的倍数，q1,q2,q3,...,qn是任意n个整数，则

q1a1 + q2a2 + q3a3 + ... + qnan 是 m 的倍数

1.5 定理4：带余数除法

若 a，b 是两个整数，其中 b > 0，则存在着两个整数 q 及 r，使得

a = bq + r ,  0 ≤ r < b                 （2）

成立，而且 q 及 r 是唯一的。

习题：

1.1证明定理3

若a1,a2,a3,…,an 都是m的倍数，则有整数b1,b2,b3,…bn,

可使 a1= b1m,  a2 = b2*m, a3 = b3 * m, … , an =bn* m。

等式两边 分别乘以 q1,q2,q3,…,qn, 则有

a1 * q1 = b1* q1 * m, a2 * q2 = b2* q2 * m,a3 * q3 = b3* q3 * m, …, an * qn = bn* qn * m, 

其中b1* q1，b2* q2，b3* q3, …, bn* qn 均为整数，

则根据定义，q1a1, q2a2, q3a3,…,qnan 均为m倍数。

根据定理2，则q1a1 + q2a2

+ q3a3 + … + qnan 为m倍数

1.2 证明3 | n(n+1)(2n+1)，其中n是任何整数