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----《数学与文化》摘录笔记一

大寨一中  高元节

绪言

1.数学是理性的音乐，音乐是感性的数学。（2页）

2.如果人们懂得我们的生活有更崇高的目标，不仅仅是每个人都有一个胃，而追求真理、追求至善以及追求美，又应该是统一的，这样的世界该是多么美好！科学家上的巨人好比阳光，不是每个人都能成为太阳，但是每个人都可以沐浴在阳光之下。人类社会越进步，人就越需要这样的阳光。追求这样一个充满阳光的世界也就是追求人类的进步。（3页）

3.这种理性的探索有一个永恒的主题，这就是：“认识宇宙，也认识人类自己。”在这个探索中数学有着特别的作用。数学和任何其它学科不同，它几乎是任何科学所不可缺少的。没有任何一门科学能像它那样泽被天下。（3页）

4.大概是到了19世纪末，数学向自己提出的问题是：“我真是一个没有矛盾的体系吗？我真正提供了完全可靠、确定无疑的知识吗？我自认为是在追求真理，可是“真”究竟是指什么？我证明了某些对象的存在，或者说我无矛盾地创造了自己的研究对象，可是他们确实存在吗？如果我不能真正地把这些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一张空头支票，一张没有银行的支票呢？”（7-8页）

5.数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的领地，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学科中汲取营养。它又把自己的根神向越来越深的思维的土地中，使它越来越牢固地站立。从这个意义上来讲，数学使人类理性发展最高的成就（或者再加上“之一”二字更好一些？）。（8页）

6.数学帮助人类从宗教和迷信的束缚下解放出来，从物质上、精神上进入了现代世界。（8页）

7.数学发展的主题是:“认识宇宙，也认识人类自己。”（9页）

8.在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致。它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标准，给人类的思想解放打开了道路。（12页）

9.历史已经证明，而且将继续证明：一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。（12-13页）

10.没有现代的数学就不会有现代的文化。没有现代数学的文化是注定要衰落的。（13页）

11.徐光启在翻译《几何原本》时写了一篇《几何原本杂议》，其中有这样一段话：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不得：欲脱之而不可得，欲驳之而不可得，欲减之而不可得，欲前后更置之而不可得。有三支三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙简明而已。”他说：“此书为益，能令学者祛其浮气，练其精心，学事者资其定法，发其巧思。故举世无一人不当学。”（14页）

12.我们固然不应该在历史的纪念碑前做梦，也同样不应该妄自菲薄。应该说我们的祖国对得起我们这一代中国人，我们这个民族也决不是思想完全被禁锢的现代木乃伊。现代中国人入想走遍天下，自立于世界民族之林，确实需要“学会数理化”，不仅事学会它的技术方面，还要学会它作为文化的一个方面。（15页）

13.他不是一本数学史，也不是一本数学思想史，它仅仅想通过某些事例说明数学作为一种文化所体现出的人类精神生活的理性方面，表达一种探索精神。（15页）

第一章 理性的觉醒

1.科学既是新技术的基础，呼唤出了前所未有的生产力，同是又是人类思想解放的武器。（18页）

2.希腊的几何学的基本信念是：宇宙是按数学设计的。（18页）

3.牛顿是第一个提出完整的宇宙图景，实现了伟大的综合的科学家。可是他的基本著作称为《自然哲学的数学原理》，完全是按照《几何原本》是模式来建立自己的宇宙体系的。（18页）

4.18世纪的数学家有一句名言：前进吧，你就会有信心。（18页）

§1 希腊的几何学

埃及几何学起源于实际需要。据希腊史学家希罗多德斯说，因为尼罗河每年泛滥后要重新划分土地，所以埃及人要学会计算面积。（19页）

柏拉图认为有两个世界，即“理念世界”和“物质世界”。“最高的现实之光来自圣洁的巅峰，我们如同久居黑暗洞穴之中，一旦见到这无比明亮、无比光辉的太阳，就会因目眩而见不到一切。因此，人想要认识宇宙，他的灵魂就必须先受到磨练和拯救。数学就是理想的手段。”“上帝永远把一切都几何化。柏拉图的上帝就是几何学家，他按几何学的原理设计了世界，因此，研究几何就是认识宇宙。同时，人通过研究数学也不断塑造自己，使自己称为更高尚、更丰富也更有力量的人。这是柏拉图的理想。”（22-24页）

证明与演绎推理并不完全是一回事。黑格尔说过：“证明是数学的灵魂”。几千年来都是这样，有谁能够对此提出挑战？没有。我们能做的只有一件事：把说明是证明搞的更明白；去“找”出一个又一个的数学命题并且一个又一个地加以“证明”，谁能证明更重要的命题就是胜利者。(25页）

古典时期的希腊数学重理论、轻实际；重演绎、轻归纳与观察实验；重几何、轻算术。（28页）

前一个时期数学和哲学结褵，这一个时期的数学是工程的情侣。（28页）

希腊人是认为宇宙是按几何学设计的，研究几何学就是用理性的思维去认识宇宙；用理性的思维去触摸天上的星辰。（29页）

§2 欧几里德的《几何原本》

欧几里德几何仍然不能完全摆脱物质世界影响的痕迹。现在，我们都很明白，要想完全摆脱人的经验或直观以达到理念世界是不可能的。（30页）

作为人的认识的可挂规律，直观的经验是不可少的。你把它从大门赶出去，再锁上门，它又会从窗子里偷偷地进来。（35页）

§3  数学与第一次科学革命

伽利略再1610年《尝试者》一书中说过一段著名的话：“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其它图形，不借助于它们就一个字也看不懂，灭有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。”（42页）

对于牛顿的伟大成就，法国著名启蒙哲学家狄德罗认为牛顿是幸运的，因为大自然向他展示了自身的秘密；拉普拉斯则自叹“予生也晚”：可惜宇宙只有一个而牛顿已经发现了它，大有“既生瑜，何生亮”之慨！倒是牛顿说自己之所以能看到比别人远是因为他“站在巨人的肩上”，这正是由于彻底了解历史的真实而来的真正的谦虚。（46页）

牛顿是很虔诚的教徒，他信仰上帝，同时也相信上帝是按照数学原理来设计世界的。（49页）

科学产生于用数学解释自然这一信念。（51页）

§4  欧几里德与理性时代

笛卡儿首先是哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，然后才是数学家。然而绝大多数人知道他却是因为他建立了解析几何。（53页）

笛卡儿说：“当我愿以一切均为伪时，则正在思维的‘我’是绝不可少的，我由此得我思故我在，这以真理十分牢靠确实，即最狂妄的怀疑论者也不能撼，故我断定可以毫不犹豫以此作为我所探求的最初的原理。”（54-55页）

笛卡儿的哲学已逐渐称为一个思想史上的遗迹，而他的解析几何却在将来的年月中仍将是中学生必须学的东西。(55页）

几何是一种艺术，但无一定成规，代数则有成规而无艺术。（56页）

感觉和物质一样有惯性，它的残存物就是印象。思想就是一串印象组成的。物体及其性质在人脑中的印象赋之以名，思想就是把这些姓名连成论断，并寻求其间的关系。在这个过程中人脑发现的有规则的东西就是知识。人脑的数学活动就是分理出、抽象出那些一下子肯不出的关系。（59页）

数学既然在认识自然中起了如此重大的作用，则人们一定会应用它来研究社会生活的。数学的作用是什么？还是我们在绪言中说的那句话：“认识宇宙，也认识人类自己。”人不断地塑造自己，人终于成了更高尚、更丰富也更有力量的人。数学有什么“用”？这就是最根本的“用”。（65页）

§5 希尔伯特的《几何基础》

结合学的内容来自我们的空间直观，而我们做的知识讨论它的一个侧面，即作“逻辑的分析”。（66页）

希尔伯特甚至说过一段著名的话：“数学就是用一些无意义的符号按一些简单规则在纸上玩的游戏。”（76页）

从逻辑分析的角度来看，如果推理开始时所依据的命题为“真”，而推理又符合逻辑的规律，则其结论为“真”。课件已经把主客观的一致这种“真”，代之以逻辑上的“真”。既然最基本的公理已经没有内容，自然没有是否符合客观实际的真伪而言。这样做并不是由于数学家的脱离实际的怪癖，而是数学发展到一定程度必然的产物。这是人类认识客观世界这个长过程的一段，数学发展到这一步时一个伟大的进步。（77页）

在从事数学研究时，不是应该从具体的东西上升到抽象的东西吗？而现在的抽象的东西反称为第一性的，具体的东西反而称为模型了。“这当然是柏拉图主义”。“具体的”模型并不具体，而且不能“具体”，而且绝对不能以经验的、物质性的东西作为模型。（78页）

几千年来一直被认为是牢不可破的基础终于崩塌了。那么人还会继续前进吗？实际上，这不是不幸，而是大幸，人终于能在确确实实的基础上认识自己的局限性了。（81页）