反射群，根系与格

MATHTH 笔记

1 反射与反射群

设 $(V,(\cdot,\cdot))$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上的欧氏空间，对于任意的 $\alpha \in V,\alpha \neq 0$ , 我们称映射
$r_{\alpha} : V \to V, x \mapsto r_{\alpha}(x)=x-\frac{2(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha$
为 $V$ 关于法向为 $\alpha$ 的镜面反射，或者称其为由 $\alpha$ 确定的镜面反射。

命题：设 $r_{\alpha}$ 为欧式空间 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的镜面反射，则

$r_{\alpha}(\alpha)=-\alpha$
$r_{\alpha}^{1}=id$ , 即 $r_{\alpha}^{-1}=r_{\alpha}$ .
$r_{\alpha} : V \to V$ 是线性映射，即
$r_{\alpha}(x+y) = r_{\alpha}(x) + r_{\alpha}(y), \forall x, y \in V \\ r_{\alpha}(kx) = kr_{\alpha}(x), \forall k \in \mathbb{R}, x \in V$

且
$\left (r_{\alpha}(x)，r_{\alpha}(y)\right)=(x,y), \forall x, y \in V$
也就是说反射是保持距离的。

我们称欧氏空间 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上若干反射生成的子群为反射变换群。

2. 根系

设 $(V,(\cdot,\cdot))$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上的欧氏空间， $\Phi$ 为 $V$ 上的若干非零元构成的集合，如果 $\Phi$ 满足

$\Phi$ 张成整个向量空间 $V$ ,
若 $\alpha \in \Phi$ , $k \in \mathbb{R}$ , 则 $k\alpha \in \Phi$ 当且仅当 $k=\pm 1$ ,
对于任意的 $\alpha \in \Phi$ , $r_{\alpha}(\Phi)=\Phi$ ,
对于任意的 $\alpha, \beta \in \Phi$ , 有

$<\beta,\alpha>=\frac{2(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}，$

则我们称 $\Phi$ 为空间 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的一组根系.

注意：

根系中不包含零向量
根系在在向量空间 $V$ 中不是线性无关的。
整性的要求是相当苛刻的，其动机在于对于根系内部的向量而已，一个向量关于另一个向量的反射只能用这个向量减去另一个向量的整数倍，这个要求就是个很强的要求。
当然对于任意给定的欧氏空间，其实的根系一定有无穷多个，因此如何选择一组比较典型的是很关键的。

例：设
$\Phi=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},\}$
构成欧氏平面 $(\mathbb{R}^2,(\cdot,\cdot)$ 的一组根系，其中
$e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0),\\ e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1).$
例对于任意的 $\alpha \in \mathbb{R},$$\alpha \neq 0$ ,
$\Phi =\{\alpha,-\alpha \}$
都是欧氏直线 $(\mathbb{R},(\cdot,\cdot)$ 上的根系。

设 $\Phi$ , 为欧氏空间 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的一个根系， $\Delta$ 为 $\Phi$ 的一个非空子集，如果 $\Delta$ 满足

$\Delta$ 构成欧氏空间 $(V,(\cdot,\cdot))$ 的一组基，
$\Phi$ 可以被 $\Delta$ 线性表出，且每个根的表出系数都同为非正或者同为非负的整数，即若 $\Delta=\{\alpha_i\}$ ，则

$\beta=\sum_{i}k_{i}\alpha_{i}, \forall \beta \in \Phi,$

且
$k_{i} \geq 0,\forall i,\quad 或者 k_{i} \leq 0 \forall i$
则我们称 $\Delta$ 为 $\Phi$ 的一个基础根系。

必须要注意：西方人的语言的逻辑是有毛病的，基础根系不是根系，因此前面的基础两个字不能用中文语言的逻辑来理解。当然，一个根系是否存在基础根系现在看来不是一目了然的事情。

设 $\Phi$ , 为欧氏空间 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的一个根系， $r \in V$ , 如果
$r \notin \cup_{\alpha \in \Phi}P_{\alpha},$
则我们称 $r$ 为关于根系 $\Phi$ 的正则元，其中
$P_{\alpha}=\{x \in V \mid (x,\alpha)=0\}$
为以 $\alpha$ 为法向的镜面.

必须要注意：对于任意一个向量空间，其有限多个子空间是并不称整个空间的，这个是维数的问题，所以向量空间的线性运算是相当重要的。

命题：设 $r \in V$ 是关于根系 $\Phi$ 的正则元，则
$\Phi =\Phi^{+}(r) \cup \Phi^{+}(r),$
其中
$\Phi^{+}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) > 0\}\\ \Phi^{-}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) < 0\}\\$
注 $\Phi^{-}(r)=-\Phi^{+}(r)$ .

例：对于欧氏平面 $(\mathbb{R}^2,(\cdot,\cdot)$ 的一组根系
$\Phi=\{e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0),e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1)\}.$
而言， $r=(1,1)$ 关于根系 $\Phi$ 而言是一个正则元，此时
$\Phi^{+}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) > 0\}=\{e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0)\},\\ \Phi^{-}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) < 0\}=\{e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1)\}.\\$
设 $r \in V$ 是关于根系 $\Phi$ 的正则元，我们称 $\alpha \in \Phi^{+}(r)$ 在 $\Phi^{+}(r)$ 中是可分解的，如果存在 $\beta_1,\beta_2 \in \Phi^{+}(r)$ , 使得
$\alpha=\beta_1+\beta_2,$
否则我们称 $\alpha \in \Phi^{+}(r)$ 在 $\Phi^{+}(r)$ 中是不可分解的。