万有引力客观题：2012年和2013年的上海卷

2013年上海卷题22B

若两颗人造地球卫星的周期之比为 $T_1:T_2=2:1$ ，则它们的轨道半径之比 $R_1:R_2=\underline{\mspace{80mu}}$ ，向心加速度之比 $a_1:a_2=\underline{\mspace{80mu}}$ .

2012年上海卷题22B

人造地球卫星做半径为 $r$ ，线速度大小为 $v$ 的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍后，运动半径为 $\underline{\mspace{80mu}}$ ，线速度大小为 $\underline{\mspace{80mu}}$ .

【分析】

卫星作圆周运动的相关公式如下：

$a= \omega \cdot v = \omega^2 \cdot R = \dfrac{v^2}{R}=\dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$

$\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$

$\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}$

$\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{R}$

$v^2= GM \cdot \dfrac{1}{R}$

【解答2013年的客观题】

$R^3 = \dfrac{GM}{4\pi^2} \cdot T^2$

$(\dfrac{R_1}{R_2})^3 = (\dfrac{T_1}{T_2})^2=4$

$R_1:R_2= 4^{\frac{1}{3}} : 1$

卫星仅受万有引力作用，共向心加速度 $a=\dfrac{GM}{R^2}$

$\dfrac{a_1}{a_2}= \dfrac{R^2_2}{R^2_1}=1: 16^{\frac{1}{3}}$

结论：它们的轨道半径之比 $R_1:R_2=4^{\frac{1}{3}} : 1$ ，向心加速度之比 $a_1:a_2=1: 16^{\frac{1}{3}}$ .

【解答2012年的客观题】

角速度变为原来的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍，则 $\omega_2:\omega_1=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$T_1:T_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$T_2:T_1=\dfrac{4}{\sqrt{2}}$

$(\dfrac{R_2}{R_1})^3 = (\dfrac{T_2}{T_1})^2=8$

$R_2=2R_1$

$(\dfrac{v_2}{v_1})^2 = \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{1}{2}$

$v_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1$

结论：当其角速度变为原来的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍后，运动半径为 $2r$ ，线速度大小为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}v$

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