万有引力客观题：2012年和2013年的上海卷

2013年上海卷题22B

若两颗人造地球卫星的周期之比为 T_1:T_2=2:1 ，则它们的轨道半径之比 R_1:R_2=\underline{\mspace{80mu}} ，向心加速度之比a_1:a_2=\underline{\mspace{80mu}} .

2012年上海卷题22B

人造地球卫星做半径为 r，线速度大小为 v 的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的 \dfrac{\sqrt{2}}{4} 倍后，运动半径为 \underline{\mspace{80mu}}，线速度大小为 \underline{\mspace{80mu}} .

【分析】

卫星作圆周运动的相关公式如下：

a= \omega \cdot v = \omega^2 \cdot R = \dfrac{v^2}{R}=\dfrac{4\pi^2 R}{T^2}

\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}

\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}

\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{R}

v^2= GM \cdot \dfrac{1}{R}

【解答2013年的客观题】

R^3 = \dfrac{GM}{4\pi^2} \cdot T^2

(\dfrac{R_1}{R_2})^3 = (\dfrac{T_1}{T_2})^2=4

R_1:R_2= 4^{\frac{1}{3}} : 1

卫星仅受万有引力作用，共向心加速度 a=\dfrac{GM}{R^2}

\dfrac{a_1}{a_2}= \dfrac{R^2_2}{R^2_1}=1: 16^{\frac{1}{3}}

结论：它们的轨道半径之比 R_1:R_2=4^{\frac{1}{3}} : 1 ，向心加速度之比 a_1:a_2=1: 16^{\frac{1}{3}} .

【解答2012年的客观题】

角速度变为原来的 \dfrac{\sqrt{2}}{4} 倍，则 \omega_2:\omega_1=\dfrac{\sqrt{2}}{4}

T_1:T_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}

T_2:T_1=\dfrac{4}{\sqrt{2}}

(\dfrac{R_2}{R_1})^3 = (\dfrac{T_2}{T_1})^2=8

R_2=2R_1

(\dfrac{v_2}{v_1})^2 = \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{1}{2}

v_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1

结论：当其角速度变为原来的 \dfrac{\sqrt{2}}{4} 倍后，运动半径为 2r，线速度大小为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}v

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