五年级下册数学第三单元知识点汇总
一、长方体和正方体的认识
1. 基本特征（核心重点）
长方体和正方体都属于立体图形，二者既有相同点，也有不同点，具体如下：
相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面互相平行，相对的棱互相平行且相等。
不同点：长方体的6个面一般是长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形），相对的面面积相等，12条棱分为3组（长、宽、高各4条），每组棱长度相等；正方体的6个面都是完全相同的正方形，12条棱长度全部相等，正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。
注意：一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形，不会出现3个、4个、5个面是正方形的情况。
2. 棱长相关计算
（1）长方体棱长总和：棱长总和 =（长+宽+高）×4，用字母表示为L=(a+b+h)×4；
变形公式：长 = 棱长总和÷4 - 宽 - 高；宽 = 棱长总和÷4 - 长 - 高；高 = 棱长总和÷4 - 长 - 宽。
（2）正方体棱长总和：棱长总和 = 棱长×12，用字母表示为L=a×12；
变形公式：棱长 = 棱长总和÷12。
3. 特殊补充
（1）切割影响：把长方体或正方体切割成两个小立体图形，每切一次增加2个面，棱长总和也会相应增加；把正方体沿任意方向切割，都会增加4条棱。
（2）拼接规律：用小正方体拼大正方体，至少需要8个小正方体（2×2×2），接下来依次是27个（3×3×3）、64个（4×4×4），所需小正方体个数是一个数的立方。
二、长方体和正方体的表面积
1. 表面积定义
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2. 计算公式
（1）长方体表面积：S =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，用字母表示为S=2(ab+ah+bh)；
（2）正方体表面积：S = 棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。
3. 实际应用（易错点）
生活中计算表面积时，需结合实际情况判断计算几个面，常见情况：
（1）6个面：油箱、罐头盒、完整的长方体/正方体盒子等；
（2）5个面：游泳池、鱼缸、抽屉（无盖或无底），计算时需去掉一个底面或顶面；
（3）4个面：水管、烟囱、通风管（无上下底面），只需计算四周的侧面面积。
4. 棱长变化对表面积的影响
长方体的长、宽、高同时扩大n倍，表面积扩大n²倍；正方体的棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍（例如：棱长扩大2倍，表面积扩大4倍）。
三、长方体和正方体的体积与容积
1. 体积与容积的定义
（1）体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积；
（2）容积：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。
注意：同一个物体，体积大于容积（因为容器有厚度，内部测量的尺寸小于外部测量的尺寸）；不计厚度时，体积和容积相等。
2. 体积（容积）单位及换算
（1）体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³），常用换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米；
（2）容积单位：计量液体体积常用升（L）、毫升（mL），换算：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米；
（3）常见参考：1立方厘米约等于1个手指尖的体积，1立方分米约等于1个粉笔盒的体积，1立方米约等于1个装29英寸电视机的大纸箱体积。
3. 体积（容积）计算公式
（1）长方体体积：体积 = 长×宽×高，用字母表示为V=abh；
（2）正方体体积：体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³（a³读作“a的立方”，表示3个a相乘）；
（3）通用公式：长方体和正方体的体积 = 底面积×高，用字母表示为V=Sh（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
4. 体积相关补充（易错点）
（1）变形公式：长=体积÷宽÷高；宽=体积÷长÷高；高=体积÷长÷宽；底面积=体积÷高；
（2）棱长变化对体积的影响：长方体的长、宽、高同时扩大n倍，体积扩大n³倍；正方体的棱长扩大n倍，体积扩大n³倍（例如：棱长扩大2倍，体积扩大8倍）；
（3）不规则物体体积：可用排水法计算，公式为V物体 = V现在 - V原来（或V物体 = 底面积×水面升高的高度）。
四、易错点总结
1. 区分体积和表面积：体积表示物体所占空间的大小，单位是体积单位；表面积表示物体表面的面积总和，单位是面积单位，二者不能混淆；
2. 计算表面积时，务必结合实际场景，判断需要计算几个面，避免多算或漏算；
3. 正方体是特殊的长方体，但长方体不一定是正方体，注意二者的区别与联系；
4. 进行单位换算时，注意换算进率，看清是大单位换小单位（乘进率），还是小单位换大单位（除以进率）。
