一下子竟然2天过去,改note还有学习spectral curve还要Riemann surface的东西,还是有很多东西要做。
终于有机会具体学习Riemann surface,之前也看过几次,但是因为没有有关的物理背景都比较弱,所以理解不好,也没有融入到自己的知识体系,很快也就忘记了。这次因为spectral curve 这个物理图像,再联系之前的一些用到复分析的物理内容,就有可能得到一点自己的理解。当然Riemann surface和弦论这边的联系还需要有机会再看看,应该也可以互相联系起来。
这里有一个概念上的转变,矩阵的本征值是矩阵特征函数的解。如果矩阵元依赖一个额外的变量,我们可以就可以认为本征值是这个变量的一个函数。这就有两个不同的理解方式:1是传统的,有几个本征值就看成有几个函数,但是这样话函数会存在一些不连续的地方。2是把本征值整体看成一个关于变量的多值函数,也就是说本征值构成了一个变量的多重cover。采用第二种图像就是,我们有两个变量分别对用了本征值和矩阵元中的变量。在两个变量的空间里,矩阵的特征函数定义了其中的一条曲线 (Riemann surface)。这样我们就可以把本征值看成是Riemann surface上面的一个单值函数了。