一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

问这4块砝码碎片各重多少？

1）首先把具体问题抽象成数学语言，可以叙述为：

已知一个k项的自然数列a，通过对各项进行加减运算，可以表示个数最多的连续自然数1,2，…，S中的任意一个。

2）用归纳法进行分析问题；

（i）当k=1时，则取a1=1，S=1；

所以取a1=1，可以表示自然数1

（ii）当k=2时，取a1=1，讨论a2取值：

已知a2>a1，则a2可以取2,3,4…..

当a2=2时，可以表示1，2，3(2+1)

当a2=3时，可以表示1，2(3-1)，3，4（1+3）

当a2=4时，无法表示出2

所以取a1=1，a2=3，可以表示1---4之间的连续自然数

（iii）当k=3时，取a1=1，a2=3，讨论a3取值：

已知a3>a2，则a3可以取4,5,6…..

这里分析一下之前的两种情况，可以发现，加入a3之后，首先要能表示出5，其次要想尽可能表示更多数，a3就要尽可能的大，所以5就应该是通过减法而不是加法得到的。

则可以写出a3—4=5，则a3=9

经验证，满足题目要求，当a3>=10的时候，不能表示出5

所以取a1=1，a2=3，a3=9，可以表示1--13之间的连续自然数

(iv)当k=4时，取a1=1，a2=3，a3=9，讨论a4取值：

根据在（iii）里推断出方法，a4-13=14，则a4=27

所以取a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，可以表示1—40之间的连续自然数

（v）所以通过归纳法，这样的计算还可以继续推广下去

3）这样就得到了四块砝码的重量为1磅，3磅，9磅，27磅。