1 图算法
地图数据常常可以用图(Graph)这类数据结构表示，那么在图结构中常用的搜索算法也可以应用到路径规划中。
首先是两种针对无权图的基本图搜索算法：深度优先搜索(Depth First Search, DFS)、广度优先搜索(Breadth First Search, BFS)。它们的区别在于openlist(后面介绍)所选用的数据结构类型不同，前者使用栈，后者使用队列；之后引入一种启发式搜索算法：贪婪最佳优先算法(Greedy Best First Search, GBFS)，用来提高搜索效率，但是不能确保找到最优路径；最后介绍两种在路径规划中非常经典的算法：Dijkstra算法、A*算法，前者是广度优先算法(BFS)在带权图中的扩展，后者则是在前者中加入启发函数得到的算法，兼顾效率和完备性
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1.1 广度优先搜索
广度优先搜索算法（Breadth-First Search，BFS）是一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。BFS并不使用经验法则算法。
广度优先搜索算法是图的基本算法之一，图是用来保存多对多的关系的数据结构，相对于树一对多的关系更为复杂，所以难度也会比树结构难一点，图的存储一般有连接表表示跟链接矩阵表示，相比来说链接矩阵的方式更为常用，也就是用数组来存储。而广度优先搜索算法其实就是图的遍历过程，数组的遍历大家都会，数组的遍历按照下标的顺序来遍历的，而图的遍历也有自己的方式，图是多对多的关系，我们可以按照各个节点直接的关联关系来遍历他们，这样便衍生出来深度优先跟广度优先，广度优先是先访问与跟当前节点相关联的所有节点，而深度优先则是按照关联关系一层层的遍历。如下图：
public class BFS {
private LinkedList list=new LinkedList();
public void BFS(int[][] map){
boolean[] visited=new boolean[map.length];
for (int i = 0; i < visited.length; i++) {
if (!visited[i]) {
list.addLast(i);
while (!list.isEmpty()) {
//访问队列里面的第一个节点
int now=(Integer) list.removeFirst();
visited[now]=true;
// 将与该节点关联的且没有访问的节点加入到队列中。
for (int j = 0; j < visited.length; j++) {
if (map[now][j]==1&&!visited[j]) {
list.addLast(j);
}
}
}
}
}
}
}
1.2 深度优先搜索
说完广度优先搜索后，我们来看图的另一种遍历形式，深度优先搜索算法，深度优先总是对刚发现的节点的出发边进行探索，直到该节点的所有出发边都被发现为止。一旦所有的出发边都被发现，搜索就回溯到前驱结点，来搜索前驱结点的出发边。反复进行直到全部遍历。我们用递归跟栈两种方式进行实现，其实归根到底递归也是栈实现的。
递归实现：
public class DFS {
private boolean[] visited;
public void dfs(int[][]map){
visited=new boolean[map.length];
for (int i = 0; i < visited.length; i++) {
if (!visited[i]) {
core(map, i);
}
}
}
public void core(int[][]map,int node){
System.out.println(node);
visited[node]=true;
for (int i = 0; i < visited.length; i++) {
if (map[node][i]==1&&!visited[i]) {
core(map,i);
}
}
}
}
栈实现：
private LinkedList list=new LinkedList();
private boolean[] visited;
public void dfs(int[][] map){
visited=new boolean[map.length];
for (int i = 0; i < visited.length; i++) {
if (!visited[i]) {
list.addLast(i);
while (!list.isEmpty()) {
int now=(Integer) list.getLast();
visited[now]=true;
System.out.println(now);
int link=getlink(map, now);
if (link!=-1) {
list.add(link);
}else {
list.removeLast();
}
}
}
}
}
public int getlink(int[][]map,int node){
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
if (map[node][i]==1&&!visited[node]) {
return i;
}
}
return -1;
}
1.3 拓扑排序
拓扑排序是图中所有节点的一种线性次序，首先拓扑排序是对有向无环图来说的，如果不满足这个条件则无法拓扑排序，拓扑排序就是遵循一定的规则对节点的排序，规则就是假设在图中有一条边是从a节点出发指向b节点，则在拓扑排序中b节点不可能排在a的前面。其实就是一直寻找入度为0的节点。我们也可以理解成b的完成必须依赖a的完成，a没有完成则b无法进行，其实这样理解的话我们先前说的线性规划也是一种拓扑排序，像我们平时的起床过程也是一种拓扑排序。
拓扑排序的实现：
public class TopoSort {
public void topsort(int[][]map){
int[] into=new int[map.length];
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map.length; j++) {
if (map[i][j]==1) {
into[j]++;
}
}
}
for (int i = 0; i < into.length; i++) {
int j=0;
while (into[j]!=0) {
j++;
if (j>into.length) {
return;
}
}
System.out.println(j);
into[j]=-1;
for (int k = 0; k < into.length; k++) {
if (map[j][k]==1) {
into[k]--;
}
}
}
}
1.4 贪心算法
1.4.1 定义
贪心算法相比动态规划更简单，也更高效。它总是做出局部最优选择，希望这样可以得到全局的最优选择。所以这种方法不能保证得到最优解，但是很多问题却都可以用这种方法。
贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它在每一步选择中都采取当前状态下最优选择，以期望最终得到全局最优解。贪心算法通常用于求解最优化问题，如最小生成树、最短路径、背包问题等。
贪心算法的基本思想是：每一步都选择当前最优解，不考虑未来的后果。这种贪心策略可能会导致局部最优解，但并不一定能得到全局最优解。因此，在使用贪心算法时，需要证明贪心策略的正确性，即证明每一步的最优解能够导致全局最优解。
以下是一个简单的贪心算法示例：
假设有一组硬币，面值分别为1、5、10、50、100元，现在需要用最少的硬币凑出总值为200元的钱数。使用贪心算法，每一步都选择当前面值最大的硬币，直到凑出总值为200元为止。
具体步骤如下：
- 选择面值最大的硬币100元，剩余金额为100元；
- 选择面值最大的硬币100元，剩余金额为0元；
- 总共使用了2枚硬币，得到最优解。
在这个例子中，贪心算法得到了全局最优解，因为每一步选择的最优解都能够导致全局最优解。但是，对于其他问题，贪心算法可能会得到局部最优解，而不是全局最优解。因此，在使用贪心算法时，需要仔细分析问题，证明贪心策略的正确性。
1.4.2 示例
假设我们有n个活动，只有一个教室，求在这个教室中一天最多可以举办多少活动（同一时间只能举办一个活动）。下面给出的是活动的开始时间跟结束时间。
| 活动序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 活动开始 | 1 | 3 | 0 | 5 | 3 | 5 | 6 | 8 | 8 | 2 | 12 |
| 活动结束 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 | 16 |
动态规划：
public class DPActity {
public void actity(){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int[][] map=new int[25][25];
for (int i = 0; i < 11; i++) {
map[sc.nextInt()][sc.nextInt()]=1;
}
for(int i=1;i<map.length;i++){
for(int j=0;j<=i;j++){
if(map[j][i]==1){
map[0][i]=max(map[0][i-1], 1+map[0][j]);
}else{
map[0][i]=max(map[0][i-1],map[0][i]);
}
}
}
System.out.println(map[0][24]);
}
public int max(int a,int b){
if(a>b){
return a;
}else{
return b;
}
}
public static void main(String[] args) {
new DPActity().actity();
}
}
虽然这样写的感觉代码也不多，但是如果我们用贪心的做法你会发现非常简单，而且好理解。因为我们的数值倒是按照结束时间排序的，所以一直选择结束时间最短的则获得最优解。在这里选择结束时间最早的活动就是我们的决策点。而贪心算法关键就是在选择决策点上。顺便一提像01背包问题不能用贪心算法来解但是分数 背包可以解决。
public void greedy(int[]s,int[]f){
int n=s.length;
int k=1;
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (s[i]>=f[k]) {
k=i;
}
}
System.out.println(k);
}
1.5 并查集(不相交集合数据结构)
1.5.1 并查集讲解
在java中经典的数据结构基本都给实现好了，我们可以直接调用，但是并查集这种数据结构却没有很好的替代工具，在这里我们自己去实现并查集数据结构。首先我们先要去了解什么是并查集
并查集是一种非常经典常用的数据结构。像求连通子图跟我们下面要研究的最小生成树问题都会用到并查集。
-
并查集:就是能够实现若干个不相交集合，较快的合并和判断元素所在集合的操作。 -
不相交集合:一个不相交集合维护了一个不相交动态集合{s1，s2，s3……}我们用一个代表标示每一个集合，他是这个集合的成员。我们不关心哪个成员作为代表，仅关心2次查询这个集合时放回结果应该相同（如果我们不修改集合）。
并查集主要就有三个方法：
-
make-set（x）：建立一个新集合唯一元素就是x，因为是不相交集合所以x不会出现在其他集合中 -
union（x，y）：将包含x和y的2个动态集合合并成一个新集合。 -
find-set(x)：返回一个指针，这个指针指向包含x的集合代表
这样说是不是有点懵，我们来看一个图。
上图两棵树就是一个不相交集合，a数的代表就是a而e树代表就是e，我们在a树上查找b则返回a而查找c也返回a说明b与c在同一结合上，而查找f返回e，说明b与e是在两个结合上，他们两个是不相交的。而
union操作就是将两颗树合并成一棵树。
我们先给出一个一般的实现，数组表示不相交集合保存的各个集合的元素。初始化时：
每个元素都指向自己的父节点也就是自己。这种方式每个节点都指向自己的上一节点。而只有代表节点指向的是自己。所以我们根据这个来搜索代表节点。
public class Ufsarry {
private int[] node;
private int max;
public void makeset(int n){
node=new int[n+1];
max=n;
//所有的节点都是不相交集合，代表节点都指向自己。
for (int i = 0; i < node.length; i++) {
node[i]=i;
}
}
public int findset(int x){
while (x!=node[x]) {
x=node[x];
}
return x;
}
public void union(int x,int y){
node[x]=y;
}
}
下面我们要说的就是并查集优化，按秩合并与路径压缩。听着好像很高深，其实很哄人的。两张图就可以解释。
第一张图就是
路径压缩，我们之前都是指向的上一节点，而压缩则是直接指向代表节点。按秩合并则是我们外加一个属性来记录集合的秩。而秩多的则说明树比较高，我们将矮的树嫁接在高的树上，这样总的高度较小。而如果高度相同，则只需要将一个树嫁接过去，给他的秩加一即可。
public class Ufs {
private int[] father;
private int[] rank;
public void makeset(int x){
father[x]=x;
rank[x]=0;
}
public int findset(int x){
if (father[x]!=x) {
father[x]=findset(father[x]);
}
return father[x];
}
public void union(int x,int y){
x=findset(x);
y=findset(y);
if (x==y) {
return;
}else {
if (rank[x]>rank[y]) {
father[y]=x;
}else{
if (rank[x]==rank[y]) {
rank[y]++;
}
father[x]=y;
}
}
}
}
优化后的代码并不比之前的代码复杂。我们这里是用的数组来实现的，当然也可以用链表来实现。我们下面要说的Kruskal算法的效率就要看，我们写的并查集的实现。而按秩合并与路径压缩是目前已知渐进时间最快的Kruskal算法实现方式。
1.5.2 Kruskal算法
说完并查集我们接着再来看这个Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法)
什么是最小生成树呢，很形象的一个形容就是铺自来水管道，一个村庄有很多的农舍，其实这个村庄我们可以看成一个图，而农舍就是图上的每个节点，节点之间有很多的路径，而铺自来水管道目的就是为了让每家都能用上自来水，而至于自来水怎么铺就不关心了，而铺管子的人就会想如何才能最节省材料，那么最省材料的一条路径就是我们这个图的最小生成树。
而如何去构建一个最小生成树呢？这个就用到了我们之前说的贪心策略。 这里的觉得点就是一直寻找安全边，所以构建最小生成树的过程可以描述成， 循环一直寻找安全边加入到树中，直到树中包含所有节点
什么是安全边？
安全边的定义就是假设
集合A是我们的最小生成树的子集，每一步都是选择一条边是A的还是最小生成树的子集，则那条边就是安全边
根据安全边选择策略不同有两种最短路径算法，分别是Kruskal算法跟prim算法。我们先来说Kruskal算法。首先我们先看一下图
大家可能已经看出来了，kruskal算法寻找安全边的方式，就是在所有的边中找最小的表，只要两个节点是两个不相交集合，就加入到最小生成树中，直到所有的节点都连接起来
大体伪代码描述：
- 循环所有的边；
- 构建一个最小优先队列；
- 构建一个并查集；
- 直到构建成最小生成树{ 从优先队列取出一个值，判断两个节点是不是不相交集合，是否加入到最小树中。 }
- 结束
javabean示例：
public class Bian implements Comparable<Bian>{
private int left;
private int right;
private int value;
public Bian(int i, int j, int k) {
this.left=i;
this.right=j;
this.value=k;
}
此处省去getset方法
@Override
public int compareTo(Bian o) {
if (this.getValue()>o.getValue()) {
return -1;
}
return 1;
}
}
并查集
class Ufs{
private int[] father;
private int[] rank;
public void makeset(int max) {
father = new int[max];
rank = new int[max];
for (int i = 0; i < father.length; i++) {
father[i] = i;
}
}
public void union(int x, int y) {
if (rank[x] > rank[y]) {
father[y] = x;
} else {
if (rank[x] == rank[y]) {
rank[y]++;
}
father[x] = y;
}
}
public int findset(int x) {
if (father[x] != x) {
father[x] = findset(father[x]);
}
return father[x];
}
}
核心代码其实就是一个循环过程，而之前的代码也全是在先前的准备工作
public void kruskal(int[][] map) {
Ufs ufs=new Ufs();
ufs.makeset(map.length);
ArrayList list=new ArrayList();
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
if(map[i][j]!=0){
Bian b=new Bian(i,j,map[i][j]);
list.add(b);
}
}
}
int max=0;
while(max<=map.length-1 && list.size()!=0 ){
Collections.sort(list);
Bian b=(Bian) list.remove(0);
int x=b.getLeft();
int y=b.getRight();
if(ufs.findset(x)!=ufs.findset(y)){
ufs.union(x, y);
System.out.println("连接"+x+","+y+"路径长度为"+b.getValue());
max++;
}
}
}
1.5.3 Prim算法
prim算法是另一种最小生成树算法。他的安全边选择策略跟kruskal略微不同，这点我们可以通过一张图先来了解一下。
prim算法的安全边是从与当前生成树 相连接 的边中选择一条最短的一条，并且该边是应是生成树与生成树外一点的连接
所以我们prim算法用汉字描述的过程应为：
- 初始化
- 构造最小优先队列，将所有节点都加入到最小优先队列中，所有节点的
key设置为无穷大，开始节点设置成0。 - 循环，直到队列为空
{取出key值最小的节点加入到生成树中，变量与key相连接的边，看是否属于树中的节点相连，如果不是且key值比队列中节点的key值小则更新队列中该节点的key值，最小优先队列排序} - 结束
下面的代码就是按照刚才的过程实现的，有很多需要优化的地方，当然算法还需要根据具体的题目，选择最好的写法，这里只是给出思想。
public class Prim {
private int MAX=1000;
private int NULL=-1;
public void prim(int[][]map){
Node[] nodes=new Node[map.length];
ArrayList list=new ArrayList();
for (int i = 1; i < map.length; i++) {
list.add(new Node(i, NULL, MAX));
}
list.add(new Node(0,NULL,0));
while(!list.isEmpty()){
Collections.sort(list);
Node n=(Node) list.remove(1);
System.out.println(n.getValue()+","+n.getLink()+","+n.getKey());
nodes[n.getValue()]=n;
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
if(map[n.getValue()][i]!=0&&nodes[i]==null){
for (Object o : list) {
Node node=(Node) o;
if(node.getKey()==i&&map[n.getLink()][i]<node.getValue()){
node.setLink(n.getValue());
node.setKey(map[n.getLink()][i]);
}
}
}
}
}
}
}
class Node implements Comparable<Node>{
private int value;
private int link;
private int key;
省去getset方法
public Node(int value, int link, int key) {
this.value = value;
this.link = link;
this.key = key;
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
if (this.key>o.getKey()) {
return -1;
}
return 1;
}
}
1.8 Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法(音译贝尔曼福特算法)，单源最短路径算法，它是图算法之一，前面说的贪心，图的遍历，动态规划都是它的基础，单源最短路径其实说的就是图中节点到节点的最短路径。就像我们使用百度地图从哪到哪一样，找出最近的距离，而单源最短路径问 题不只是两点之间的路径，他有很多的变形，像单目的地最短路径问题，单节点对最短路径问题，所有节点对最短路径问题，最短路径的最优子结构问题。
在介绍这类算法之前我们先规定节点的基本属性，我们规定节点都有一个key值，key值记录的是 开始节点到本节点的最小距离，每个节点也都有一个p指针指向它的前驱节点。这里我们规定一个操作叫做松弛操作，我们的算法也是最终基于这个操作的。 松弛操作就是去更新key的值
节点B的key值为8,表示从开始节点到B节点之前的最短估计距离是8，而节点A的key值3，是说从开始节点到A节点最短估计是3，当我们发现这个边 时，从A到B的距离比较近，所以我们去更新B的key值，同时把B的前驱节点设置成A。这个过程就是松弛操作
我们说的Bellman-Ford算法是最简单的算法，就是从开始节点开始循环每一条边，对他进行松弛操作。最后得到的路径就是最短路径
public class BellmanFord {
private int[] rank;
private int max=1000;
public boolean bellmanford(int[][]map,int start,int end){
init(map.length, start);
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
if (map[i][j]!=0) {
relex(i,j,map[i][j]);
}
}
}
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map.length; j++) {
if (rank[j]>rank[i]+map[i][j]) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public void init(int max,int start){
rank=new int[max];
for (int i = 0; i < rank.length; i++) {
rank[i]=max;
}
rank[start]=0;
}
public void relex(int s,int e,int length){
if(rank[e]>rank[s]+length){
rank[e]=rank[s]+length;
}
}
}
