Biofilm是和活性污泥法一样重要的污水生物处理技术，由于微生物附着在载体表面以膜的形式生长，因此由于传质阻力的增加，使得Biofilm在模拟的时候与活性污泥工艺的不同。

但是biofilm种无外乎也是发生着基质的利用和微生物的增长，只不过是基质从生物膜的表面扩散到内部存在着浓度差，因此在不同厚度的微生物所得到的基质是不同的。

在生物膜内部的任何位置，其基质利用过程依然与悬浮生长的状态类似，可用下式表示

$r_{ut}=-\frac{qX_fS_f}{K+S_f}$

这里的Xf指生物膜上的活性微生物量，Active biomass density within the biofilm,Sf 表示研究的位置的基质的浓度。

基质扩散过程可以用费克扩散定律来表达

$r_{diff}=D_f\frac{d^2S_f}{dz^2}$

在稳定状态下，微生物的基质利用速率与扩散速率是相同的，因此以上两式的和为0.即

$0=D_f\frac{d^2S_f}{dz^2}-\frac{qX_fS_f}{K+S_f}$

这个方程要求有两个边界条件，一是没有基质进入载体，即

$\frac{dS_f}{dz}=0$

另外一个边界条件是膜与液体交界面上，基质必须从液相扩散入生物膜，即

$J=\frac{D}{L}(S-S_0)=D_f\frac{dS_f}{dz}|_{z=0}=D_f\frac{dS}{dz}|_{z=0}$

如果在两个边界，即液体和膜的边界Sw及载体界面的基质浓度Ss已知,可以得到上面式子的一个解析解，

$J_1=\bigg[2\hat{q}X_fD_f\bigg(S_s-S_w+K\ln \bigg(\frac{K+S_w}{K+S_s}\bigg)\bigg)\bigg]^{\frac{1}{2}}$

$J_{deep}=\bigg[2\hat{q}X_fD_f\bigg(S_s+K\ln \bigg(\frac{K}{K+S_s}\bigg)\bigg)\bigg]^{\frac{1}{2}}$

First order

对于一级反应来说，其平衡状态的状态方程可以写为：

$0=D_f\frac{d^2S_f}{dz^2}-k_1X_fS_f$

对上式进行积分可以得到

$J_1=\frac{D_fS_ftanh(L_f/\tau _1)}{\tau _1}$

$S_f=\frac{S_fcosh((L_f-z)/\tau_1)}{cosh(L_f/\tau_1)}$

The biofilm mass balance

$\frac{dX_fdz}{dt}=\gamma \frac{\hat{q}S_f}{K+S_f}(X_fdz)-bX_fdz$

$0=\int\limits_0^{L_f}\frac{d(X_fdz)}{dt}=\int\limits_0^{L_f}\gamma \frac{\hat{q}S_f}{K+S}X_fdz-\int\limits_0^{L_f}bX_fdz$

$\int\limits_0^{L_f}\frac{d(X_fdz)}{dt}=\frac{d(X_fL_f)}{dt}=0$