反证法在证明题中的应用

反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：

（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；

（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；

（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.

其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.

类型一证明“至多”或“至少”问题

证明“至多”或“至少”问题

使用情景：证明“至多”或“至少”问题．
解题步骤：

第一步首先假设命题不成立；
第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步最后得出结论.
例1.若 $x,y\in$ {正整数}，且 $x+y>2$ 。求证： $\dfrac{1+x}{y}<2$ 或 $\dfrac{1+y}{x}<2$ 中至少有一个成立。
【解析】注意“至少”字样，可以考虑用反证法证明

证明：假设 $\cfrac{1+x}{y}\geqslant2与\cfrac{1+y}{x}\geqslant2$ 同时成立，又 $x>0,y>0$ ,

$\therefore\begin{cases}1+x\geqslant 2y\\ 1+y\geqslant 2x\end{cases}$ 将以上两式相加得 $x+y\leqslant2$ ,

这与已知条件 $x+y\geqslant2$ 矛盾，

因此假设不成立。

故 $\cfrac{1+x}{y}$ 或 $\cfrac{1+y}{x}<2$ 中至少有一个成立。

【点评】反证法的逻辑根据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾。

类型二证明“不可能”问题

证明“不可能”问题

使用情景：证明“不可能”问题．
解题步骤：

第一步首先假设命题不成立；
第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步最后得出结论.
例2.给定实数 $a$ ， $a\neq0$ 且 $a\neq1$ ，设函数 $y=\cfrac{x-1}{ax-1}(x\in R,且x\neq\cfrac{1}{a})$ ，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 $x$ 轴．
【解析】：要证明经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 $x$ 轴，可以考虑假设函数图像上存在两点 $M_1,M_2$ ,使得直线 $M_1M_2$ 平行于 $x$ 轴，可以考虑假设函数图像上存在两点 $M_1,M_2$ ,使得直线 $M_1M_2$ 平行于 $x$ 轴，然后得出矛盾。

证明：假设函数图像上存在两点 $M_1,M_2$ ，使得直线平行于 $x$ 轴，设 $M_1(x_1,x_1),M_2(x_2,y_2)$ 且 $x_1\neq x_2$ 由 $k_{M_1M_2}=0$ 得 $\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{\cfrac{x_2-1}{ax_2-1}-\cfrac{x_1-1}{ax_1-1}}{x_2-x_1}=\cfrac{a-1}{(ax_2-1)(ax_1-1)}=0$ ，解得 $a=1$ 。与已知 $a\neq1$ 矛盾。故经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于 $x$ 轴

【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。

类型三证明“存在性”或“唯一性”问题

证明“存在性”或“唯一性”问题

使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．
解题步骤：

第一步首先假设命题不成立；
第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步最后得出结论.
例3.求证：方程 $5^x=12$ 的解是唯一的．
【解析】可以假设方程 $5^x=12$ 的解有两个，然后得出矛盾。

证明：由对数的定义易得， $x_1=\log_5 12$ 是这个方程的一个解，假设这个方程的解不是唯一的，他还有解 $x=x_2(x_2\neq x_1)$ ,则 $5^{x_1}=12$ ,则 $\cfrac{5^{x_2}}{5^{x_1}}=1$ .①由假设，得 $x_2-x_1\neq 0$ ,从而：当 $x_2-x_1>0$ 时，有 $5^{x_2-x_1}>1;$ ②当 $x_2-x_1<0$ 时，有 $5^{x_2-x_1}<1$ ③