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哥哥姐姐弟弟妹妹们，大家好，我是王同学。
本文不是概率的科普文，而是王同学在最近思考概率的时候遇见的几个问题，是对自己已有知识的补充和修正，本文并不适合不懂概率的人进行系统学习。
某一个事物在同一条件下可能发生，也可能不发生，表示发生可能性大小的量叫做概率。1表示这件事绝对发生，0表示这件事绝对不会发生，所以，概率是介于0和1之间的一个量。但是，需要说明一件事情发生的可能性是99.999%，只要不是1，这件事依然可能不发生。
大数定律告诉我们，在条件不变的情况下，一件事重复的次数趋向于无穷大的时候，它发生的频率无限趋近于概率，通俗来讲就是偶然中包含着某种必然。所以，我们可以利用统计学的方法对概率进行确定。
对于这种数学问题直接上题目会比东拉西扯更加有效。
01 | 概率会随着条件增加而变大
概率是由做判断那一刻所知的条件决定的，概率会随着有效条件的增加而变大。
比如说，王同学在大家的面前摇一个骰子让大家猜，猜中的概率是1/6。如果此时，王同学看了一眼答案，然后告诉大家是个双数，此时大家猜中的概率就是1/3，王同学再告诉大家，不仅是个双数，而且比5小，此时大家猜中的概率有1/2。由此可见，随着王同学给出越来越多的有效条件，大家猜中的概率也会越来越大，概率是随着有效条件的增多而变大的。
再比如说，我们玩抛硬币的游戏，在正式开始抛硬币之前计算概率，连续三次出现正面的概率是1/8。如果第一次抛硬币出现正面，重新再让我们计算连续三次出现正面的概率，那么此时就是1/4，因为第一次已经是正面，这属于已知条件了。
再举一个类似的例子，一对夫妻有两个孩子，老大是男孩儿，请问老二是女孩儿的概率是多大？答案很显然是1/2，老二是男孩儿还是女孩儿，和老大没有任何关系，生男生女各是1/2概率，所以，答案就是1/2。
如果将这个例子升级一下，一对夫妻有两个孩子，其中有一个孩子是男孩儿，另一个孩子是女孩儿的概率有多大？先告诉大家，1/2是错的，大家想一想，再看答案。正确答案是2/3。我们可以用列举法来解决这个问题，有一个孩子是男孩儿，但是没有说顺序，我们可以做一下列举，老大和老二的排列可能性分别是男女，男男，女男，女女。很明显第四个女女的情况不符合这道题的情况，所以，女孩儿的概率是2/3，男孩儿的概率是1/3。
我们也可以把上一道答案是1/2的题理解成具有双重条件，老大是男孩儿=有一个孩子是男孩儿+这个孩子是老大。两道题的条件是不同的，所以答案不一样。
最后，想要说明这个问题，最经典的案例莫过于三门问题。
美国的一个电视节目当中，主持人给嘉宾面前展示了三扇完全一样的门，其中一扇门后面有一辆劳斯莱斯，两扇门后面有一只羊。正常人都想要那辆劳斯莱斯，因为比较贵。首先，让嘉宾指定其中的某一扇门，此时，事先知道答案的主持人打开了一扇羊面前的门，请问此时嘉宾为了获得那辆劳斯莱斯该不该换选项？如果换选项，中奖概率是多少？
这个问题一开始王同学也做错了，正确答案是应该换选项，换选项中奖的概率是2/3，不换选项中奖概率是1/3。
我们先用列举法来解释这个问题。
分别给三扇门标号，1，2，3，他们后面的礼品分别是劳斯莱斯，羊，羊。
嘉宾选择三扇门的概率各是1/3，如果他选择不换选项，一开始选中的概率是1/3。如果他选择换选项，有如下情况
门1，门2，门3
劳斯莱斯，羊，羊
选择，主持人打开，更换
选择，更换，主持人打开
更换，选择，主持人打开
更换，主持人打开，选择
这里看似有四种情况，但是前两种情况合起来概率是1/3，后两种情况概率分别是1/3，所以整体而言，选择更换，有2/3的概率会换到劳斯莱斯，有1/3的概率会换到羊。
一个更简单的模型是我们反着去推断，假设我们选择换，事先知道情况的主持人好心帮我们排除了一个错误答案，所以，只要我们一开始选中山羊，就一定会获得汽车，概率是2/3。同理，我们一开始选中汽车，最后换到山羊的概率只有1/3。所以，选择换是更理智的。
最后总结一下，不换选项有1/3概率选到劳斯莱斯，换选项有2/3概率换到劳斯莱斯。
很多人会认为是1/2，王同学一开始算的也是1/2。我们假设此时有100扇门，其中有99扇门后面是羊，一扇门后面是车，我们一开始选中的概率是1%，主持人好心帮我们排除掉98个错误答案，我们该换还是不该换呢？这些人凭什么认为我们一开始选中的概率是1/2呢？
如果在这道题目当中，将其中一个条件改变，主持人一开始直接推开一扇门，发现后面是羊，此时嘉宾在做选择的时候，两扇门各是1/2的概率。因为此时条件发生了变化，所以概率也会发生变化。但是，我们要注意，在这个题目当中不管主持人是否提前知道这扇门后面是羊，都不影响最后的概率。
最后，还有一种错误的观点，他们认为如果主持人提前不知道答案，随机推开一扇门，如果这扇门背后是羊，那么这个时候概率各是1/2，这个观点是错的。只要我们在主持人推开门之前先进行了一次选择，那么这次选择的正确概率是1/3，这个概率已经定死了，不能再改了。不管主持人主管是否知道，只要他推开的那扇门背后是羊，另一扇没有被我们选择的门的获奖概率自动变为2/3。
如果有杠精非要问，如果随意推开一扇门，后面就是车呢？答: 如果是车的话，游戏自动结束，不再需要用概率来预测了。
02 | 题外话
顺便说一句题外话，经典的三门问题说明了一个朴素的道理——概率大小和选项个数没有关系。我有两个选项，那么这两个选项概率是一样大的，这种思维完全是错误的。
这在现实生活中是一个很常见的错误，尤其是一些文科生财经博主，常常在那里说一些完全没有数学常识的判断，还振振有词。比如说，有房地产大V说，很多人都有一种错觉，认为房价高的就容易往下跌，房价低的就容易往上涨，其实不然，房价要么上涨要么下跌，概率各是1/2，还有类似的，股价要么上涨，要么下跌，概率各是1/2。
我想说的是，这些财经博主自己买的投资标的不一定亏了，可是他们的分析过程全错。
这种错误很容易反驳。比如说，十张彩票，两张有奖的，八张没奖的，中奖概率是20%，而不是说要么中奖，要么不中奖，各是50%。过马路要么被车撞死，要么没被车撞死，所以活下来的概率是1/2。显然是胡说八道。
房价的上涨或下跌，股价的上涨或下跌，中彩票或不中彩票，被车撞死过没被车撞死，这都是结果，不能用结果的数量去反推概率。
未完。
看世界，见自己，全情投入
王同学
2024.1.16
[1] 写数学相关的文章好累，比写普通文章累多了。
