探索勾股数组

在经历完整的勾股定理建构历程，也就是从猜想到证明的这一个程后，我们开始有了新的探索。

我们都知道，勾股定理是：在一个直角三角形中，两只角边的平方和等于斜边的平方，用符号语言表示就是：在▲ABC中，∠C＝90° $\implies$ a²+b²＝c²。我们通过练习，已经知道3,4,5满足勾股定理，5,12,13,也满足勾股定理。这样三个可以满足勾股定理的正整数，我们称之为“勾股数组”。那么我们自然就会想到，可以不可以找到勾股数组的一种规律呢？这就是我们进一步探索的。（因为我的探索不是很完整，所以就只写奇数的规律）

先来观察如下的勾股数组：

（3.4.5）（5.12.13）（7.24.25）（9，40，41）...

我们发现，这些勾股数组的第一个数字，都是奇数，那我们顺着这样的规律，往下的勾股数的第一个，应该是11，13，15等。我们还发现，勾股数的第三个，比第二个大1.这样，我们只要找到第一个数和的第二个数之间的某种规律，就可以找到无数个勾股数组，也就是找到了勾股数的规律。

在这里，我借鉴了练习册上的一道题，题目引导我们： $4＝1×（3＋1）$ ， $12＝2×（5＋1）$ ， $24＝3×（7＋1）$ ， $40＝4×（9＋1）$ .可以发现，勾股数组的第二个数，就是第一个数加上1，再乘上一个数字。这个数字，其实代表的是这是第几个第一个数是奇数的勾股数。

如果我们现在把勾股数组写成（a，b，c）（a>3且为奇数），那么b就可以表示为（a+1），再乘上这是第几个勾股数组。那么接下来，我们就要发现这个a于这个勾股数是第几个之间的某种关系。

再回到特例，第一个勾股数组的第一位是3，第二个勾股数的第一位是5，第三个勾股数的第一位是7.我们发现，勾股数组的第一位减去一的差在除以二，就是这个勾股数组是第几个。如果一组勾股数组的第一位是a的话，那么这个勾股数组就是第 $\frac{a-1}{2}$ 个。那么这个勾股数组的第二位，也就是b就可以表示为： $\frac{a-1}{2} ×（a+1）$ ，运用平方差公式化简一下就可以得到 $\frac{a^2-1}{2}$ .而勾股数组的第三位，也就是c，比b大1，所以可以表示为 $\frac{a^2-1}{2} +1$ .化简就是 $\frac{a^2+1}{2}$ 。