2020-07-19 欧氏几何一个简单有趣定理的证明

公理1：在直线上的不同三点中，有且仅有一点介于其它两点之间
公理2：如果是两个不同的点，那么在直线上有无穷多点介于之间；同时存在无穷多点使介于点和这些点中任意一点之间
公理3：直线上的任何点都把直线上的其余点分为两类，使得介于任何不同类两点之间，且不介于任何同类两点之间

定理：给定直线上五个不同的点,若
点介于之间，且点,和点都介于之间；
则点介于之间

证明:
假设点不介于之间,根据公理1，要么介于之间，要么介于之间；

第一种情形：
我们先假设介于之间；
根据公理3，点把直线上的点分成两部分，由于介于之间，则必然属于不同的两部分，否则的话，就介于属于相同部分的两点之间，与公理3矛盾;
我们设所在的部分集合为,所在的部分集合为;
则和都属于集合,这是因为
如果属于集合,根据公理3 ,将介于之间，而又介于之间，这与公理1矛盾；
同理也属于集合;
再根据公理3，结合属于集合 ,和都属于集合，有介于之间，且介于之间；

根据介于之间，则把直线分为两个集合和使得属于且属于
结合介于之间的事实，必然也属于,否则的话根据公理3 将介于之间，这与介于之间矛盾（公理1）
同理，再结合介于之间的事实，也属于
而不可能属于两个不同的集合和，所以假设介于之间是不成立的；

第二种情形：
对于介于之间的情形我们可以类似讨论；

综上，得到的结论就是 假设不介于之间 不成立；
则介于之间， 证明完毕。