Matlab 进行FFT分析

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基本概念

在从时域进行频域变换的基本matlab中的基本函数和数学关系.png

序号和频率成分的关系因为0频的存在，最高频率为Fs-df即df*(N-1)

FFT频率序列序号和频率轴的对应关系.png

需要解决的问题

理解FFT产生序列的意义，即幅度和相位
找到频率序列，对应的频率轴，恢复x轴为频率。重要的频率Fs，频率轴最大点为Fs-df
找到频率序列模值和信号真实幅度的转换关系。

区分0频和其他频率

在只使用正频率时，乘以系数2/N，其中N为FFT的点数

频域分析的意义

信号变换到频域的功能
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域，将信号的频谱提取出来，做频谱分析
有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

数字信号处理基础

采样

模拟信号->ADC采样->数字信号
采样定理: 采样频率需要大于信号频率的2倍

FFT变换

数字信号序列，有N个采样点，经过FFT变换得到N个点的FFT结果
当N点是2的整数次方，FFT因对称结构，计算复杂度降低，会算的很快
假设采样率Fs，信号频率F，采样点数N，经过FFT计算得到一个N点的复数序列 sf(N)
sf(N)中每个点对应一个频率点。点的模值 abs(sf(N))，表征幅度特性。点的角度表征相位特性。
对于正频谱，幅度恢复，第一个点直流分量，模值/N；其他点模值*2/N，即可恢复频谱的幅值。
第一个点直流分量，第N+1个点对应采样频率Fs（实际上只有N个点）。频率分辨率df=Fs/N，那么第N个点对应的真实频率为F_N=(N-1)*Fs/N
T=N/Fs，因此T=1/df。如果要提高频率分辨率，提高采样时间，或者在采样率不变的情况下，提高采样点数即可。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

FFT复数的意义

如果FFT后N点数据用复数a+bi表示，则 $A_N=\sqrt{a^2+b^2}$ ，相位 $\Phi_N=\arctan{\frac{b}{a}}$
如果只取正频率，各个分量的信号表达式为
$sf_N=\frac{2\ A_N}{N}\cdot\cos(2\pi F_Nt+\Phi_N) \ (N>0)\\ sf_0=\frac{A_N}{N} \ (N=0)$

举例

直流Adc=2
频率F1=50 A1=2 相位P1=-30
频率 F2=75 A2=1.5 相位P2=90
数学表达如下
$S=2+\cos(2\pi50t-\pi30/180)+1.5\cos(2\pi70t-\pi90/180)$
matlab中cos用弧度制，采样率Fs=256 Hz。采样点数N=256，采样时间T=Fs/N=1
频率间隔df=1/T=1
F_N=(N-1)*Fs/N，第一个点直流，那么50Hz分量在第51点，75Hz分量在76点


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Adc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度， 针对半频谱
Ayy(1)=Ayy(1)/2; %直流和奈奎斯特频率处还需要/2
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
% F=[0:N-1]*Fs/N; %F=0:Fs/N:Fs/2-Fs/N
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');

结果