高等数学——无穷级数

1. 常数项级数

1.1 定义

一般的，如果给定一个数列
$\mu_1, \mu_2, \mu_3, \cdots ,\mu_n, \cdots ,$
则由这数列构成的表达式
$\mu_1 + \mu_2 + \mu_3 + \cdots + \mu_n + \cdots \tag{1}$
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ ，即
$\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n = \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 + \cdots + \mu_n + \cdots$
其中第 $n$ 项 $\mu_n$ 叫做级数的一般项。

1.2 收敛与发散

作（常数项）级数 $(1)$ 的前 $n$ 项的和
$s_n = \mu_1 + \mu_2 + \cdots + \mu_n = \sum_{i=1}^{n}\mu_i$
$s_n$ 称为级数 $(1)$ 的部分和，当 $n$ 依次取 $1,2,3,\cdots$ 时，它们构成一个新的数列
$s_1 = \mu_1, s_2 = \mu_1 + \mu_2, s_3 = \mu_1 + \mu_2 + \mu_3, \cdots, s_n = \mu_1 + \mu_2 + \cdots + \mu_n , \cdots$

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 的部分和数列 $\{s_n\}$ 有极限 $s$ ，即
$\lim_{n\rightarrow \infty }s_n = s$
称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛，这时极限 $s$ 叫做这级数的和，并写成
$s = \mu_1 + \mu_2 + \cdots + \mu_n + \cdots$
如果 $\{s_n\}$ 没有极限，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 发散。

显然当级数收敛时，其部分和 $s_n$ 是级数的和 $s$ 的近似值，它们之间的差值
$r_n = s - s_n = \mu_{n+1} + \mu_{n+2} + \cdots$
叫做级数的余项，用近似值 $s_n$ 代替和 $s$ 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 $|r_n|$ 。

1.3 收敛级数的基本性质

性质 1 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛于和 $s$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }k \mu_n$ 也收敛，且其和为 $ks$ 。
结论：级数的每一项同乘以一个常数后，它的收敛性不会改变。

性质 2 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 、 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 收敛于 $s$ 和 $\sigma$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }(\mu_n \pm \nu_n)$ 也收敛，且其和为 $s \pm \sigma$
结论：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。

性质 4 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数
$(\mu_1, \cdots, \mu_{n_{1}}) + (\mu_{n_{1}+1}, \cdots, \mu_{n_{2}}) + \cdots + (\mu_{n_{k-1}}, \cdots, \mu_{n_{k}}) + \cdots$
仍收敛，且其和不变。

推论如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。

性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛，则它的一般项 $\mu_n$ 趋于零，即
$\lim_{n\rightarrow \infty }\mu_n = 0$

柯西审敛原理 级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 $\epsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，对于任意的正整数 $p$ ，都有
$|\mu_{n+1} +\mu_{n+2} + \cdots + \mu_{n+p} | < \epsilon$

1.4 常数项级数的审敛法

定理 1 正向级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 $\{s_n\}$ 有界（各项均为正数或零的级数称为正向级数）。
 
定理 2（比较审敛法） 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 都是正向级数，且 $\mu_n \leqslant \nu_n(n = 1, 2, \cdots )$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 发散。
 
推论 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 都是正向级数，如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 收敛，且存在正整数 $N$ ，使当 $n\geqslant N$ 时有 $\mu_n \leqslant k\nu_n(k > 0 )$ 成立，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛；如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 发散，且当 $n\geqslant N$ 时有 $\mu_n \geqslant k\nu_n(k > 0 )$ 成立，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 发散。
 
定理 3（比较审敛法的极限形式） 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 都是正向级数，
(1) 如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\mu_n}{\nu_n} = l\,\,\,(0\leqslant l < \infty )$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛；
(2) 如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\mu_n}{\nu_n} = l > 0$ 或 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\mu_n}{\nu_n} = + \infty$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 发散。
 
定理 4（比值审敛法达朗贝尔判别法） 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 为正向级数，如果
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\mu_{n+1}}{\mu_n} = \rho$
则当 $\rho<1$ 时级数收敛， $\rho>1(或 \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\mu_{n+1}}{\mu_n} = \infty)$ 时级数发散， $\rho=1$ 时级数可能收敛也可能发散。
 
定理 5（根值审敛法柯西判别法） 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 为正向级数，如果
$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\mu_n} = \rho$
则当 $\rho<1$ 时级数收敛， $\rho>1(或\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\mu_n} = \rho)$ 时级数发散， $\rho=1$ 时级数可能收敛也可能发散。
 
定理 6（极限审敛法） 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 为正向级数，
(1) 如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }n \mu_n = l > 0(或 \lim_{n\rightarrow \infty }n \mu_n = +\infty)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 发散。
(2) 如果 $p > 1$ ，而 $\lim_{n\rightarrow \infty }n^p \mu_n = l\,\, (0 \leqslant l < +\infty)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛。
 
定理 7（莱布尼茨定理） 如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\mu_n$ 满足条件：
(1) $\mu_n \geqslant \mu_{n+1}\quad (n=1, 2, 3, \cdots)$ ；
(2) $\lim_{n\rightarrow \infty }\mu_n = 0$
则级数收敛，且其和 $s \leqslant \mu_1$ ，其余项 $r_n$ 的绝对值 $|r_n| \leqslant \mu_{n+1}$ 。
（交错级数的各项是正负交错的）
 
绝对收敛与条件收敛 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 各项的绝对值所构成的正向级数 $\sum_{n=1}^{\infty }|\mu_n|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 绝对收敛；如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 收敛，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty }|\mu_n|$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 条件收敛。
 
定理 8 级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 必定收敛。
 
定理 9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）。
 
定理 10（绝对收敛级数的乘法） 设 $\sum_{n=1}^{\infty }\mu_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }\nu_n$ 都绝对收敛，其和分别为 $s$ 和 $\sigma$ ，则它们的柯西乘积
$\mu_1 \nu_1 + (\mu_1 \nu_2 + \mu_2 \nu_1) + \cdots + (\mu_1 \nu_n + \mu_2 \nu_{n-1}+ \cdots + \mu_n \nu_1) + \cdots$
也是绝对收敛的，且其和为 $s \cdot\sigma$ 。

2. 幂级数

2.1 函数项级数

如果给定一个定义在区间 $I$ 上的一个函数列
$\mu_1(x), \mu_2(x), \mu_3(x), \cdots, \mu_n(x), \cdots$
则由这函数列构成的表达式
$\mu_1(x) + \mu_2(x) + \mu_3(x) + \cdots + \mu_n(x) + \cdots$
称为定义在区间 $I$ 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

在收敛域上，函数项级数的和是 $x$ 的函数 $s(x)$ ，称 $s(x)$ 为函数项级数的和函数，并写成
$s(x) = \mu_1(x) + \mu_2(x) + \mu_3(x) + \cdots + \mu_n(x) + \cdots$

2.2 幂级数及其收敛性

各项都是幂函数的函数项级数称为幂级数，它的形式是
$\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots$
其中常数 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ 叫做幂级数的系数。

定理 1 如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 当 $x = x_0(x_0 \neq 0)$ 时收敛，则适合不等式 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$ 使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 当 $x = x_0$ 时发散，则适合不等式 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$ 使这幂级数发散。

推论如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 不是仅在 $x = 0$ 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的 $R$ 存在，使得
当 $|x| < R$ 时，幂级数绝对收敛；
当 $|x| > R$ 时，幂级数发散；
当 $|x| = \pm R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散。
正数 $R$ 通常叫做幂级数的收敛半径，开区间 $(-R, R)$ 叫做幂级数的收敛区间。

定理 2 如果
$\lim_{n\rightarrow \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho$
其中 $a_n$ 、 $a_{n+1}$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
$R = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\rho },\quad \rho \neq 0\\ +\infty ,\quad \rho = 0\\ 0, \quad \rho = +\infty \end{matrix}\right.$

2.3 幂级数和函数性质

性质 1 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续。

性质 2 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，并有逐项积分公式
$\int_{0}^{x} s(x)dx = \int_{0}^{x}[\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n]dx = \sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{x}a_nx^ndx = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\quad (x \in I)$
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

性质 3 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R, R)$ 上可导，并有逐项求导公式
$s'(x) = (\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n)' = \sum_{n=0}^{\infty }(a_nx^n)' = \sum_{n=0}^{\infty }na_nx^{n-1}\,\,(|x| < R)$
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

2.3 函数展开成幂级数

假设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的领域 $U(x_0)$ 内能展开成幂级数，即有
$f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots + a_n(x-x_0)^n + \cdots,x\in U(x_0) \tag{1}$
根据和函数的性质可知， $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内具有任意阶导数，且
$f^{(n)}(x) = n!a_n + (n+1)!a_{n+1}(x-x_0) + \frac{(n+2)!}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots,$
由此可得 $f^{(n)}(x_0) = n!a_n$
于是 $a_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\quad (n = 0, 1, 2, \cdots) \tag{2}$
这就说明，如果函数 $f(x)$ 有幂级数展开式 $(1)$ ，那么该幂级数的系数 $a_n$ 由公式 $(2)$ 确定，即该幂级数必为
$f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n + \cdots \\=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \tag{3}$
而展开式必为
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,\quad x \in U(x_0) \tag{4}$
幂级数 $(3)$ 叫做函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数，展开式 $(4)$ 叫做函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒展开式。

定理设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的领域 $U(x_0)$ 内具有各阶导数，则 $f(x)$ 在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内 $f(x)$ 的泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 当 $n\rightarrow \infty$ 的极限为零，即
$\lim_{n\rightarrow \infty }R_n(x) = 0, x \in U(x_0)$

当 $x_0 = 0$ 时，在 $(3)$ 式中，取 $x_0=0$ ，得
$f(0) + f'(0)x + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \tag{5}$
级数 $(5)$ 称为函数 $f(x)$ 的麦克劳林级数，如果 $f(x)$ 能在 $(-r, r)$ 内展开成 $x$ 的幂级数，则有
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \tag{6}$
$(6)$ 式称为函数 $f(x)$ 的麦克劳林展开式。

常用的幂级数展开式
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}x^n\quad(-\infty <x<+\infty ) \tag{7}$
$sin\,x = \sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\quad(-\infty <x<+\infty ) \tag{8}$
$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nx^{n}\quad(-1 <x<1 ) \tag{9}$
对 $(9)$ 式两边从 $0$ 到 $x$ 积分，可得
$ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}x^{n}\quad(-1 <x\leqslant 1 ) \tag{10}$
对 $(8)$ 式两边求导，即得
$cos\,x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\quad(-\infty <x<+\infty ) \tag{11}$
把 $(7)$ 式中 $x$ 换成 $xlna$ ，可得
$a^x = e^{xlna} = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(lna)^n}{n!}x^{n}\quad(-\infty <x<+\infty ) \tag{12}$
把 $(9)$ 式中 $x$ 换成 $x^2$ ，可得
$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nx^{2n}\quad(-1 <x<1 ) \tag{13}$
对上式从 $0$ 到 $x$ 积分，可得
$arc tan\,x= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\quad(-1\leqslant x\leqslant 1)\tag{14}$

二项展开式
$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}x^n + \cdots, (-1 <x<1 )$

3. 傅里叶级数

3.1 定义

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，且能开展称三角级数
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }(a_n\,cos\,nx + b_n\,sin\,nx) \tag{1}$
其中
$\left\{\begin{matrix} a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos\,nx dx\quad (n=0, 1, 2,\cdots)\\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin\,nx dx\quad (n=1, 2, 3, \cdots) \end{matrix}\right. \tag{2}$
如果 $(1)$ 中的积分都存在，这时他们定出的系数 $a_0, a_1, b_1, \cdots$ 叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶系数，将这些系数代入 $(1)$ 式右端，所得的三角级数
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }(a_n\,cos\,nx + b_n\,sin\,nx)$
做函数 $f(x)$ 的傅里叶级数。

当 $f(x)$ 为奇函数时， $f(x)cos\,nx$ 是奇函数， $f(x)sin\,nx$ 是偶函数，故
$\left\{\begin{matrix} a_n = 0\quad (n=0, 1, 2,\cdots)\\ b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)sin\,nx dx\quad (n=1, 2, 3, \cdots) \end{matrix}\right. \tag{3}$
即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 $\sum_{n=1}^{\infty }b_n\,sin\,nx \tag{4}$

当 $f(x)$ 为偶函数时， $f(x)cos\,nx$ 是偶函数， $f(x)sin\,nx$ 是奇函数，故
$\left\{\begin{matrix} a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)cos\,nx dx\quad (n=0, 1, 2,\cdots)\\ b_n = 0\quad (n=1, 2, 3, \cdots) \end{matrix}\right. \tag{5}$
即偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }a_n\,cos\,nx \tag{6}$

定理（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，如果它满足
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点，
则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且
(1) 当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$ ；
(2) 当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x^-) + f(x^+)]$

3.2 一般周期的傅里叶级数

定理设周期为 $2l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }(a_n\,cos\,\frac{n \pi x}{l} + b_n\,sin\,\frac{n \pi x}{l}) \quad (x \in C) \tag{7}$
其中
$\left\{\begin{matrix} a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\,\frac{n \pi x}{l} dx\quad (n=0, 1, 2,\cdots)\\ b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\,\frac{n \pi x}{l} dx\quad (n=1, 2, 3, \cdots) \end{matrix}\right. \tag{8}$
$C = \{ x|f(x) = \frac{1}{2}[f(x^-) + f(x^+)]\}$

当 $f(x)$ 为奇函数时
$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty }b_n\,sin\,\frac{n \pi x}{l} \quad (x \in C) \tag{9}$
其中
$b_n = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)sin\,\frac{n \pi x}{l} dx\quad (n=1, 2, 3, \cdots) \tag{10}$

当 $f(x)$ 为偶函数时
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }a_n\,cos\,\frac{n \pi x}{l} \quad (x \in C) \tag{11}$
其中
$a_n = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)cos\,\frac{n \pi x}{l} dx\quad (n=0, 1, 2,\cdots) \tag{12}$