1.Endowments and Preferences

时间是离散的，从 $t=1$ 开始，到无穷，即 $t=1,2,...$ 有无数个个体，标记为 $i=0,1,...$ 记 $t=i$ 为个体 $i$ 的开始时刻。每一期有唯一的商品，且商品不可储存，不存在不确定性。

每个个体有一个严格增、严格凹且二阶连续可导的效用函数 $u(c)$

个体 $i$ 有特殊效用函数：

$U^i(c^i)=u(c_i^i)+u(c_{i+1}^i),i\geq1;U^0(c^0)=u(c_1^0)\quad(1)$

注意到个体 $i$ 只关注时刻 $i\&i+1$ 的物品，等式 $(1)$ 说明个体 $i$ 只在时刻 $i\&i+1$ 生活，且只在其活着的时候消费。

个体 $i$ 有获得遗产序列 $y^i=(y_i^i,y_{i+1}^i)$ ，满足 $y_i^i\geq0,y_{i+1}^i\geq0$ 且 $y_t^i=0,\forall t\notin\{i,i+1\}$ ，即个体只在其活着的时候获得遗产

1.1 Optimality and Feasibility

设想在零时刻存在“结算所”来发布价格，并以这些价格加总不同时刻的需求和供给。平衡价格向量使得市场对时刻 $t\geq2$ 出清，但是在时刻 $1$ 可能存在超额供给；时刻 $1$ 的超额供给可以归结于最初的一代不遵循均衡价格向量，因为他们只在时刻 $1$ 进行消费，而不在未来购买商品。

因此，在零时刻，存在完全市场，时刻 $t$ 的消费品在零时刻价格为 $q_t^0$

家庭最优化问题为： $\max_{\{c_t^i,c_{t+1}^i\}}\sum_{t=1}^\infty[u(c_t^i)+u(c_{t+1}^i)]$

有预算约束： $\sum_{t=1}^\infty q_t^0c_t^i\leq\sum_{t=1}^\infty q_t^0y_t^i$

问题等价于：

$\begin{align*}&\max_{\{c_i^i,c_{i+1}^i\}}u(c_i^i)+u(c_{i+1}^i)\\s.t.&q_i^0c_i^i+q_{i+1}^0c_{i+1}^i\leq q_i^0y_i^i+q_{i+1}^0y_{i+1}^i\end{align*}$

构造拉格朗日函数：

$L=u(c_i^i)+u(c_{i+1}^i)+\mu^i(q_i^0y_i^i+q_{i+1}^0y_{i+1}^i-q_i^0c_i^i-q_{i+1}^0c_{i+1}^i)$

有一阶条件： $\begin{align*}u^\prime(c_i^i)&=\mu^iq_i^0\\u^\prime(c_{i+1}^i)&=\mu^iq_{i+1}^0\\c_t^i&=0,\forall t\notin\{i,i+1\}\end{align*}$

联立得： $\frac{u^\prime(c_{i+1}^i)}{u^\prime(c_i^i)}=\frac{q_{i+1}^0}{q_i^0}\quad(2)$

一个分配为可行分配，若 $\forall t\geq1,c_t^t+c_t^{t-1}\leq y_t^t+y_t^{t-1}\quad(3)$

一个分配为静态的，若 $c_{i+1}^i=c_o,c_i^i=c_y,\forall i\geq1$ ，注意我们不需要 $c_1^0=c_o$ ；我们称有静态分配的均衡为静态均衡。

1.2 Two Stationary Equilibria

令 $\epsilon\in(0,0.5),1-\epsilon\in(0.5,1)$ ，则捐赠为：

$y_i^i=1-\epsilon,y_{i+1}^i=\epsilon,\forall i\geq1;y_i^j=0,otherwise\quad(4)$

该经济存在许多均衡，我们描述两种静态均衡，之后再描述一些非静态均衡；我们采用假设检验的方法去确认这两种静态均衡：

Equilibrium H: 一个高利率均衡

假设均衡为： $q_t^0=1,\forall t\geq1;c_i^i=c_{i+1}^i=0.5;c_1^0=\epsilon\quad(5)$

Check:

最优化条件满足： $\frac{u^\prime(0.5)}{u^\prime(0.5)}=1$

可行性条件满足： $\begin{align*}0.5+0.5&=(1-\epsilon)+\epsilon=1,for\quad t\geq2\\0.5+\epsilon&<(1-\epsilon)+\epsilon=1,for\quad t=1\end{align*}$

时刻 $1$ 的商品有余下没有被消费的，为最初一代留下了空间。

该均衡下利率相对较高，即 $R_t=p_t/p_{t+1}=q_t^0/q_{t+1}^0=1$

Equilibrium L: 一个低利率均衡

假设均衡为： $\begin{align*}q_1^0&=1,\frac{q_{t+1}^0}{q_t^0}=\frac{u^\prime(\epsilon)}{u^\prime(1-\epsilon)}=\alpha>1\\c_t^i&=y_t^i,\forall i,t\Leftrightarrow c_i^i=1-\epsilon,c_{i+1}^i=\epsilon\end{align*}$

最优化条件满足： $\frac{u^\prime(\epsilon)}{u^\prime(1-\epsilon)}=\alpha$

可行性条件满足： $c_t^t+c_t^{t-1}=y_t^t+y_t^{t-1}$

该均衡是自给自足的，即根除所有交易。

该均衡下利率相对较低，即 $R_t=p_t/p_{t+1}=q_t^0/q_{t+1}^0=1/\alpha<1$

1.3 Nonstationary Equilibria

我们的模型存在更多的均衡。为了构建更多均衡，我们从出价曲线的角度总结偏好和消费决策

家庭的出价曲线为图像 $(c_i^i,c_{i+1}^i)$ ，且满足：

$\max_{\{c_i^i,c_{i+1}^i\}}U(c_i^i)=u(c_i^i)+u(c_{i+1}^i)\qquad s.t.\quad c_i^i+\alpha_ic_{i+1}^i\leq y_i^i+\alpha_iy_{i+1}^i$

其中 $\alpha_0=q_{i+1}^0/q_i^0=1/R_t>0$

出价曲线满足等式： $c_i^i+\alpha_ic_{i+1}^i=y_i^i+\alpha_iy_{i+1}^i,\frac{u^\prime(c_{i+1}^i)}{u^\prime(c_i^i)}=\alpha_i$

出价曲线可以表示为： $\psi(c_i^i,c_{i+1}^i)=0\quad(6)$

均衡可以达到，若可行性条件满足，即 $c_i^i+c_i^{i-1}=y_i^i+y_i^{i-1},\forall i\geq1\quad(7)$

取 $c_1^1$ 为初始条件，我们利用出价曲线和可行曲线去计算均衡分配和价格。

1.4 Computing Equilibria

Example 1:

Gale的均衡机器。

选择 $c_1^1$ 为初始条件，可行性条件限定了 $c_1^0$ 的最大值，由最初一代的预算约束，得 $q_1^0(c_1^0-y_1^0)\leq0\Rightarrow c_1^0=y_1^0$

由 $c_1^1$ 最优化，得出价曲线 $(c_1^1,c_2^1)$ ，即求 $c_2^1$

由 $c_2^1$ 可行性，得可行曲线 $(c_2^2,c_2^1)$ ，即求 $c_2^2$

以次类推，由出价曲线 $(c_i^i,c_{i+1}^i)$ 求得 $c_{i+1}^i$ ，由可行曲线 $(c_{i+1}^{i+1},c_{i+1}^i)$ 求得 $c_{i+1}^{i+1}$

Example 2:

对数效用函数 $u(c)=\ln c$

遗产序列可以描述为 $y_i^i=1-\epsilon,y_{i+1}^i=\epsilon,\forall i\geq1;y_i^j=0,otherwise$

最优化条件为 $\frac{c_i^i}{c_{i+1}^i}=\alpha_i$

与预算约束联立得： $\begin{align*}c_i^i&=\frac{1}{2}(1-\epsilon+\alpha_i\epsilon)\\c_{i+1}^i&=\frac{1}{2\alpha_i}(1-\epsilon+\alpha_i\epsilon)\end{align*}$

代入可行性条件，得 $\frac{1}{2}(1-\epsilon+\alpha_i\epsilon)+\frac{1}{2\alpha_{i-1}}(1-\epsilon+\alpha_{i-1}\epsilon)=1$

解得： $\alpha_i=\epsilon^{-1}-\frac{\epsilon^{-1}-1}{\alpha_{i-1}}\quad(8)$ 为非线性差分方程

令 $i\rightarrow\infty$ ，有代数方程 $\alpha_\infty=\epsilon^{-1}-\frac{\epsilon^{-1}-1}{\alpha_\infty}$

即 $\alpha_\infty^2-\epsilon^{-1}\alpha_\infty+(\epsilon^{-1}-1)=0$ ，有两个解：

① $\alpha_\infty=1$

此时 $q_{i+1}^0/q_i^0=1/R_t=1,R_t=R=1$

$q_i^0=1,c_i^i=c_{i+1}^i=0.5,\forall i\geq1$

即高利率均衡

② $\alpha_\infty=\epsilon^{-1}-1>1$

此时 $q_{i+1}^0/q_i^0=1/R_t=\epsilon^{-1}-1,R_t=R=1/(\epsilon^{-1}-1)<1$

$c_i^i=1-\epsilon=y_i^i,c_{i+1}^i=\epsilon=y_{i+1}^i$

即低利率均衡

lecture12 OLG Models 1