角的魅力

铁路桥

        伴随着社会的快速发展,几何学中的“角”在人们的生活、工作中出现的越来越多,也显得越来越重要。上图是一铁路桥局部,映入我们眼帘的就有许多角,很美。

        下面我们就从小学二年级的角度来了解一些关于“角”的问题:

        问题一:找一找

图1

        1.上面图形中有直角(        )个。

        2.上面图形中有锐角(        )个。

        3.上面图形中有钝角(        )个。

        4.上面图形中一共有(        )个角。

        解析:解决本题首先要区分三个概念——直角、锐角、钝角,以及图形的基本构成——7个方形图形和2个梯形。

图2

        每个图形角的数量是4个,那4x9=36个,但这并不是全部。另外还不同图形组合新增加的角,两梯形组合新增2个角,梯形与方形组合新增2个角,方形与方形组合新增2个。所以,这一图形组合中一共有42个角。

        两个梯形中的角和梯形组合新增的角共有10个,是由直角、锐角和钝角组成,直角有2个,锐角有2+2=4个,钝角有2+2=4个。

        方形组合图形中全部都是直角,7个方形有4x7=28个,新增直角一种是在梯形与方形组合中有2个,另一种是在方形与方形组合中有2个,由此可见这里直角有32个。再加上上面2个,一共有34个。

        答案:1.34        2.4          3.4          4.42

        问题二:数一数

图1.1
图1.2
图2.1
图2.2
图3.1
图3.2
图4.1
图4.2

        这种问题是小学数学中非常常见的一种问题,是有规律可循的。想一想,图1.1到图4.1每个图形中各有多少角?

        解析:解决这一问题需要先数出每个图形中的角,进而根据其结果总结得出规律。这样,这一类问题就从根本上得以解决,就可以举一反三了。图1.2显然是1个角,即(1-0=1)1个;图2.2共有3个角,即(3-1=2)2+1=3个;图3.2共有6个角,即(4-1=3)3+2+1=6个;图4.2共有10个,即(5-1=4)4+3+2+1=10个。由此,可以得出这类问题 的规律是:角边的数量(n)-1所得出的数(n-1),依次递减1相加一直加到1,即(n-1)+(n-2)+(n-3)……+1,其总和就是角的数量。

        答案:图1.1有1个角;图2.1有3个角;图3.1有6个角;图4.1有10个角。

        问题三:想一想

图1
图2
图3
图4

        以上是我们常见的多边形,在其中包含了不同数量的角。想一想,图1到图4的图形中各包含多少个角?

        解析:图1是三角形,有3条边,因包含3个角而得名,其角的数量等于边的数量(3),即3个;图2是四边形,有4条边,其角的数量等于边的数量(4),即4个;图3是五边形,有5条边,其角的数量等于边的数量(5),即5个;图4是六边形,有6条边,其角的数量等于边的数量(6),即6个。因此,n边形,有n条边,其角的数量等于边的数量(n),即n个。

        答案:图1有3个角;图2有4个角;图3有5个角;图4有6个角。

        问题四:思一思

图1

        在上面的图形(直角梯形)中,任意增加1条线,使它分别增加1个、2个和3个角。根据情况,分类画出每个图形。

        解析:在图1图形中增加的这条线,可以与图形的某些边相交,也可以与图形中的一些边相交同时与一些边不相交。这样,由此而增加的直角的数量就会不同;当然这里也有规律可把握。

        第一种情况:增加1个直角。这种情况有两种可能,其一是在直角梯形上底边(即短的底边)的钝角顶点向下加一条直线,与上底边是直角,同时不与下底边相交;其二是在直角梯形上底边(即短的底边)的钝角顶点向左下加一条直线,与右边的腰(即长的斜腰)是直角,与下底边可相交、可不交。

        第二种情况:增加2个直角。这种情况有四种可能,其一是在直角梯形上底边(即短的底边)两个顶点之间的任一点向下加一条直线,与上底边是直角,同时不与下底边相交;其二是在直角梯形左边腰(即直的短腰)两个顶点之间的任一点向右加一条直线,与左边的腰(即直的短腰)是直角,右边的腰(即长的斜腰)可相交、可不交;其三是在直角梯形右边腰(即长的斜腰)两个顶点之间的任一点向左下加一条直线,与右边的腰(即长的斜腰)是直角,与下底边可相交、可不交;其四类似于第一种可能,在直角梯形下底边(即长的底边)两个顶点之间的任一点向上加一条直线,与下底边是直角,同时不与上底边相交。

        第三种情况:增加3个直角。这种情况只有一种可能,即在直角梯形上底边(即短的底边)的钝角顶点向下加一条直线,与上底边是直角,同时与下底边相交,与下底边是直角。

        第四种情况:增加4个直角。这种情况只有一种可能,即在直角梯形上底边(即短的底边)两个顶点之间的任一点向下加一条直线,与上底边是直角,同时与下底边相交,与下底边是直角。

        答案:

       第一种情况:增加1个直角,如图1和图2。

图1
图2

         第二种情况:增加2个直角,如图3、图4、图5、图6。

图3
图4
图5
图6
在斜腰两个顶点之间增加一条直线

         第三种情况:增加3个直角,如图7。

        第四种情况:增加4个直角,如图8。

图8
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