诺依曼说:“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性做怎样的估计都不会过分。”恩格斯说:“在一切理论进步中,同17世纪下半叶发明微积分比较起来,未必再有别的东西会被看作人类精神如此崇高的胜利。”
然而牛顿和莱布尼兹在揭示微积分方法的同时就试图建立微积分原理,可是终其一生也没能实现。后来,以柯西为代表的数学家们建立起了微积分原理,就是今天人们所学的微积分原理。但该原理虽经黎曼等数学家完善,逻辑上仍不能自圆其说,进而制约人类科技的发展。
牛顿和莱布尼兹在1665年和1673年,分别独自创建微积分方法体系,并建立各自的微积分原理,其结果是:微积分方法放之四海而皆准,但微积分原理始终不能自圆其说。在牛顿的微积分原理中,由于构造流数(即导数)的需要,牛顿人为地引入小量“o”,可是,当流数构造出之后,牛顿又觉得流数后“o”的组合项是个麻烦,于是,又人为地舍弃“o”项。逻辑学告诉人们,如果一个量无论多小都得引入,那它就不可以忽视;如果一个量小得可以忽视,那它就不必引入。据此,基督教北爱尔兰地区克罗因主教贝克莱嘲笑牛顿的“o”是幽灵。
在莱布尼兹的微积分原理中,莱布尼兹定义两个要多近就可以多近的变量的差为微分,微分的逐点累加就是积分(毋需区分不定积分与定积分),积分的微化就是微分,导数就是因变量与自变量的微分之比。莱布尼兹微积分原理的不足在于说不清“要多近就可以多近”究竟是多近。当然,在微积分方法的揭示上,欧拉做得更多、更好。
沃利斯开创的极限论到十九世纪得以成体系。1821年和1823年,法国数学家柯西以极限论为工具分别出版了他的《分析教程》和《无限小计算教程概论》,以此为标志,人类建立起第一个微积分原理。后来,又经过黎曼、维尔斯特拉斯和达布等数学家的完善,我们现行的微积分原理宣布大功告成。柯西系的微积分原理本质上就是用极限论处理掉“o”项的牛顿系的微积分原理,但在解释不了丰富多彩的微积分方法为什么行之有效时又只好把莱布尼兹的微分拼凑进去。
可是,1875年数学家托梅对现行微积分原理提出挑战。继托梅的直尺函数之后,原点左右无限震荡函数和越接近原点越无限次震荡的衰减函数等相继登场,此后,微积分原理再次陷入危机之中。如果我们称贝克莱对牛顿的质疑为微积分原理的第一次危机的话,那么,这次危机称之为微积分原理的第二次危机。微积分原理第二次危机的化解是法国数学家勒贝格完成的,他在1902年的《积分,长度和面积》一文中提出两个核心思想,即后人所说的“勒贝格测度”和“勒贝格积分”。但丁小平先生说,勒贝格和贝尔等数学家的所谓“化解”仍然是立不住的。
