高等数学上期末卷题选(2)

1.设f(x)=\int_{-1}^xsint^3dt,则f(1)=\_\_\_\_\_,f'(x)=\_\_\_\_,f^{(10)}(0)=\_\_\_\_\_

解：

f(1)=\int_{-1}^1sint^3dt=0

f'(x)=sint^3

f^{(10)}(x)=[f'(x)]^{(9)}=(sint^3)^{(9)}

由Maclaurin公式

sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^n)

\therefore sint^3=t^3-\frac{t^9}{3!}+\frac{t^{15}}{5!}-\cdots+o(t^{3n})

f^{(10)}(0)=[(sin0)]^{(9)}=0-\frac{9!}{3!}+0-\cdots+0=-\frac{9!}{6}

2.求函数f(x)=e^xcosx的极大值和极小值

解：

f'(x)=e^xcosx-e^xsinx=e^x(cosx-sinx)

令f'(x)=0得驻点x_k=\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in Z

f''(x)=e^x(cosx-sinx)+e^x(-sinx-cosx)=-2e^xsinx

当k为偶数时,
f''(x_k)=- \sqrt{2}e^{x_k} \lt 0,f(x_k)={\sqrt{2} \over 2}e^{x_k}为极大值

当k为奇数时,
f''(x_k)= \sqrt{2}e^{x_k}\gt 0,f(x_k)=-{\sqrt{2}\over 2}e^{x_k}为极小值

3.\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(4-x^2)^3}}dx

解：

令x=2sint,则t=arcsin\frac{x}{2}

原式=\int_0^{\pi \over 6}{1 \over \sqrt{(4-4sin^2t)^3}}d(2sint)

=\int_0^{\pi\over 6}{1\over 8cos^3t}2costdt

=\frac{1}{4}\int_0^\frac{\pi}{6}sec^2tdt

=\frac{1}{4}tant|_0^\frac{\pi}{6}

=\frac{\sqrt3}{12}

4.\int_1^{+\infty}\frac{lnx}{x^2}dx

解：

原式=-\int_1^{+\infty}lnxd(\frac{1}{x})

=-\frac{lnx}{x}|_1^{+\infty}+\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

=0-\frac{1}{x}|_1^{+\infty}=1

5.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且\int_0^1f(x)dx=0.

证明：\exists\xi\in(0, 1)满足f(\xi)+\xi f'(\xi)=0.

证：

由积分中值定理知,\exists a\in(0,1)使得

f(a)=\int_0^1f(x)dx=0

设g(x)=xf(x),则g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,

且g(0)=g(a)=0

由Rolle定理知,\exists\xi\in(0,a),使得

g'(\xi)=0

即f(\xi)+\xi f'(\xi)=0

6.设曲线y=ax^2(a\gt0,x\ge0)与y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax^2围成一平面图形,如图1-1,a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最大.

1-1

解：

依题意得A({1\over \sqrt{a+1}},{a\over a+1})

\therefore 直线OA：y=\frac{a}{\sqrt{a+1}}x

旋转体体积为

V= \int_0^{1\over \sqrt{a+1}}[\pi({a \over \sqrt{a+1}}x)^2-\pi(ax^2)^2]dx

=\pi\int_0^\frac{1}{\sqrt{a+1}}(\frac{a^2x^2}{a+1}-a^2x^4)dx

=\pi[\frac{a^2x^3}{3(a+1)}-\frac{a^2x^5}{5}]|_0^\frac{1}{\sqrt{a+1}}=\frac{2\pi a^2}{15(a+1)^\frac{5}{2}}

\frac{dV}{da}=\frac{2\pi}{15}\frac{2a(a+1)^\frac{5}{2}-a^2\frac{5}{2}(a+1)^\frac{3}{2}}{(a+1)^5}=\frac{\pi a(4-a)}{15(a+1)^\frac{7}{2}}

令\frac{dV}{da}=0得唯一驻点a=4,此时旋转体体积V最大.

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