语言模型

一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为 $T$ 的词的序列 $w_1, w_2, \ldots, w_T$ ，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：
$P(w_1, w_2, \ldots, w_T).$
本节我们介绍基于统计的语言模型，主要是 $n$ 元语法（ $n$ -gram）。在后续内容中，我们将会介绍基于神经网络的语言模型。

语言模型

假设序列 $w_1, w_2, \ldots, w_T$ 中的每个词是依次生成的，我们有
$\begin{align*} P(w_1, w_2, \ldots, w_T) &= \prod_{t=1}^T P(w_t \mid w_1, \ldots, w_{t-1})\\ &= P(w_1)P(w_2 \mid w_1) \cdots P(w_T \mid w_1w_2\cdots w_{T-1}) \end{align*}$
例如，一段含有4个词的文本序列的概率
$P(w_1, w_2, w_3, w_4) = P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_1, w_2, w_3).$
语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如， $w_1$ 的概率可以计算为：
$\hat P(w_1) = \frac{n(w_1)}{n}$
其中 $n(w_1)$ 为语料库中以 $w_1$ 作为第一个词的文本的数量， $n$ 为语料库中文本的总数量。
类似的，给定 $w_1$ 情况下， $w_2$ 的条件概率可以计算为：
$\hat P(w_2 \mid w_1) = \frac{n(w_1, w_2)}{n(w_1)}$
其中 $n(w_1, w_2)$ 为语料库中以 $w_1$ 作为第一个词， $w_2$ 作为第二个词的文本的数量。

n元语法

序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。 $n$ 元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面 $n$ 个词相关，即 $n$ 阶马尔可夫链（Markov chain of order $n$ ），如果 $n=1$ ，那么有 $P(w_3 \mid w_1, w_2) = P(w_3 \mid w_2)$ 。基于 $n-1$ 阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为
$P(w_1, w_2, \ldots, w_T) = \prod_{t=1}^T P(w_t \mid w_{t-(n-1)}, \ldots, w_{t-1}) .$
以上也叫 $n$ 元语法（ $n$ -grams），它是基于 $n - 1$ 阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当 $n=2$ 时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：
$\begin{align*} P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_1, w_2, w_3)\\ &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_2) P(w_4 \mid w_3) \end{align*}$
当 $n$ 分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列 $w_1, w_2, w_3, w_4$ 在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为
$\begin{aligned} P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2) P(w_3) P(w_4) ,\\ P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_2) P(w_4 \mid w_3) ,\\ P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_2, w_3) . \end{aligned}$
当 $n$ 较小时， $n$ 元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当 $n$ 较大时， $n$ 元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。
思考：元语法可能有哪些缺陷？

参数空间过大
数据稀疏

语言模型数据集

读取数据集

···
with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
corpus_chars = f.read()
print(len(corpus_chars))
print(corpus_chars[: 40])
corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
corpus_chars = corpus_chars[: 10000]
···

建立字符索引

···
idx_to_char = list(set(corpus_chars)) # 去重，得到索引到字符的映射
char_to_idx = {char: i for i, char in enumerate(idx_to_char)} # 字符到索引的映射
vocab_size = len(char_to_idx)
print(vocab_size)

corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars] # 将每个字符转化为索引，得到一个索引的序列
sample = corpus_indices[: 20]
print('chars:', ''.join([idx_to_char[idx] for idx in sample]))
print('indices:', sample)

def load_data_jay_lyrics():
with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
corpus_chars = f.read()
corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
corpus_chars = corpus_chars[0:10000]
idx_to_char = list(set(corpus_chars))
char_to_idx = dict([(char, i) for i, char in enumerate(idx_to_char)])
vocab_size = len(char_to_idx)
corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars]
return corpus_indices, char_to_idx, idx_to_char, vocab_size
···

时序数据采样

在训练中我们需要每次随机读取小批量样本和标签。与之前章节的实验数据不同的是，时序数据的一个样本通常包含连续的字符。假设时间步数为5，样本序列为5个字符，即“想”“要”“有”“直”“升”。该样本的标签序列为这些字符分别在训练集中的下一个字符，即“要”“有”“直”“升”“机”，即 $X$ =“想要有直升”， $Y$ =“要有直升机”。