A项，在共同犯罪中，只要有一名被告人被判处死刑，不论该被告人是否上诉，只要引起二审，第二审程序就应当开庭审理。本题中，鲁某和关某共同犯罪，鲁某被判处死刑立即执行，但鲁某没有上诉。关某上诉引起二审，第二审法院应当开庭审理，A正确。
B项，第二审法院同级的检察院是否需要派员出庭，关键看第二审法院是否开庭审理。开庭审理的，应当派员；不开庭审理的，无需派员。在我国，对于“异、死、抗”（对事实证据有异议，可能影响定罪量刑的上诉案件，判死刑的上诉案件，检察院抗诉案件）的案件，二审法院应当开庭审理。本案中，由于鲁某被判处死立执，又由于关某上诉引起了二审，第二审法院应当开庭审理，因此同级检察院应当派员出庭。B错误。
CD项，根据上诉不加刑原则的要求，一审法院对被告人判处死刑缓期执行没有限制减刑、决定终身监禁的，被告人上诉，二审法院不得限制减刑、决定终身监禁。本题中，被判死缓的关某上诉，高级法院进行二审认为应对关某限制减刑，但限于上诉不加刑原则，高级法院不得对关某限制减刑。若高级法院认为原判判处关某的刑罚畸轻，必须依法改判，应当先维持关某的死缓裁判，待案件生效后再依照审判监督程序重新审判。是故，C项说全案发回、D项说增加限制减刑全是错误的。
综上所述，本题应当选A。
