第 5 章连续性和可导性

Time: 2019-11-21
Title:第 5 章连续性和可导性

本章重点：
1.在一点处及在一个区间上连续;
2.连续函数的一些例子;
3.连续函数的介值定理;
4.连续函数的最大值与最小值;
5.位移、平均速度和瞬时速度;
6.切线和导数;
7.二阶导和高阶导;
8.连续性和可导性的关系。

5.1 连续性

5.1.1 在一点处连续

如果 $\mathop{lim}\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ 函数 $f$ 在点 $x = a$ 处连续

精确描述：
(1) 双侧极限 $\mathop{lim}\limits_{x\to a}f(x)$ 存在 (并且是有限的);
(2) 函数在点 $x = a$ 处有定义, 即 f (a) 存在 (并且是有限的);
(3) 以上两个量相等, 即 $\mathop{lim}\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ .

如果在某个点上不连续的话，这个点叫不连续点。函数在 $x=a$ 出有个不连续点。

5.1.2 在一个区间上连续

如果函数在区间 (a; b) 上的每一点都连续, 那么它在该区间上连续

函数 f 在 [a; b] 上连续,
如果图 5-2
(1) 函数 f 在 (a; b) 中的每一点都连续;
(2) 函数 f 在点 x = a 处右连续; 即, $\mathop{lim}\limits_{x\to a^+}f(x)$ 存在 (且有限), f (a) 存在, 并且这两个量相等;
(3) 函数 f 在点 x = b 处左连续; 即, 存 $\mathop{lim}\limits_{x\to b^-}f(x)$ 在 (且有限), f (b) 存在, 并且这两个量相等.

如果函数在其定义域中的所有的点都连续, 我们就说它是连续的.
如果函数的定义域包括一个带有左端点和/或右端点的区间, 那么函数连续在那里还需要函数的单侧连续性.

5.1.3 连续函数的一些例子

当函数连续时，极限就是函数对应的值。

5.1.4 介值定理

介值定理：如果 f 在 [a, b] 上连续, 并且 $f (a) < 0 且 f (b) > 0$ , 那么在区间
(a, b) 上至少有一点 c, 使得 $f (c) = 0. 代之以 f (a) > 0 且 f (b) < 0,$ 同样成
立.

5.1.6 连续函数的最大值和最小值

最大值与最小值定理：如果 f 在 [a, b] 上连续, 那么 f 在 [a, b] 上至少有一个
最大值和一个最小值.

开区间则不一定会成立。

5.2 可导性

一般在图像中可以画出切线的(非尖锐点)的地方是可导的。

5.2.6 导函数

如果存在极限则有 $f'(x)=\mathop{lim}\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\frac{dy}{dx}$ 实际上根本不是一个分数, 它是当 $\Delta x\to 0$ 时分数 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限.

5.2.9 二阶导数和更高阶导数

$f'(x)=\frac{dy}{dx}$
$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}$

将二阶导写成 $f^{(2)}(x)$ 而不是 $f''(x)$ . 甚至也可能将一阶导写成 $f^{(1)}(x)$ 而不是 $f'(x)$ , 因为只取了一次导数, 此外, 还可以用
$f^{(0}(x)$ 代替 $f(x)$ 本身 (没有取导数!). 用这种方式, 任何导数都可以写成 $f^{(n)}(x)$ 的形式, 其中 n 为整数.

左导数与右导数

如果左导数和右导数存在且相等, 那么实际的导数就是左导数或者右导数的值。

如果有断点的话，左导数和右导数根本不存在，或者说都是无穷大。

5.2.11 可导性和连续性

如果一个函数 f 在 x 上可导, 那么它在 x 上连续。

可导函数必连续. 不过要记住, 连续函数并不总是可导的!

第 5 章 连续性和可导性

5.1 连 续 性