经典电磁学笔记

1 库仑定律与高斯定律

1.1 库仑定律

两个电荷之间的相互作用力由库伦定理给出，记两个电荷的电荷量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，两电荷间的距离为 $r$ ，二者间的相互作用力即库仑力为 $\boldsymbol{F}$ ，则有
$\boldsymbol{F}=k\frac{q_1q_2}{r^2}$
其中 $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ ， $\varepsilon_0$ 为真空中的电容率（介电常数）。此即为库仑定律。库仑力的特点为同种电荷之间为斥力，异种电荷之间为引力。

由库仑定律，空间中若由一个点电荷 $q_0$ ，则在与其相距为 $r$ 的地方存在的电荷 $q$ 受到的力为
$\boldsymbol{F}=k\frac{qq_0}{r^2}$
可以发现，当存在这样一个点电荷 $q_0$ 时，空间中任意一点，任意电荷 $q$ 受到的库仑力的强度是完全由 $q_0$ 和 $r$ 决定的，即
$\boldsymbol{F} \propto k\frac{q_0}{r^2}$
这样，空间中的一点就和一个矢量（因为 $q$ 是标量而 $\boldsymbol{F}$ 为矢量，所以上式右方的量一定是矢量）联系在了一起，这样就形成了一个矢量场（向量场），即电场，而空间中任意一点都存在的这个和该点存在的电荷所受的库仑力强度相关的量即为电场强度，记为 $\boldsymbol{E}$ ，则有
$\boldsymbol{E}=k\frac{q_0}{r^2}$
由上式可看出，电场强度的单位为 $N/C$ ，也可以是 $V/m$ 。形象地说，电场强度是衡量电场陡峭程度的量。正电荷的电场强度方向是指向无限远的，而负电荷的电场强度是由无限远指向负电荷的，也就是说一个正电荷在正电荷产生的电场中是向无限远运动的，而在负电荷产生的电场中则相反。

如果我们把负电荷产生的电场看作是一个向下凹陷的坑，则电场强度就表示了这个坑的陡峭程度。对于真实的一个坑而言，陡峭程度其实就是高度的变化率，类比于此，我们可以定义出电场的“高度”，也就是电位（电势）。陡峭程度是高度的变化率，按照微积分的观点，就是导数，那么高度就可以通过陡峭程度对距离积分获得，类比于此，电位可通过电场强度对距离积分得到，记电位为 $\varphi$ ，其单位为 $V$ 。则有
$\varphi=-\int\boldsymbol{E}\mathrm{d}r=k\frac{q_0}{r}$
我们通常定义正电荷产生的场中各点电势为正，远离正电荷，各点电势降低；负电荷产生的电场中各点电荷为负，远离负电荷，各点电势增加。所以上式中积分前存在一个负号。 ^[1]

电位在空间中构成一个标量场，对这个电位场而言，电场强度构成的其实是它的梯度场（由于上述的定义，所以是负梯度场），即
$\boldsymbol{E}=-\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}r}$
可以更普遍地写为
$\boldsymbol{E}=-\nabla \varphi$
类比等高线，把空间中电势相同的各点连接起来，就形成的等电位面，由于梯度向量永远垂直于等值面，所以电场强度总是垂直于等电位面。

为了直观地表示电场，我们可以画出电力线来表示电场，如下图所示

应注意，如上图，电力线与矢量场的图示是不同的。画电力线一般有以下的规定：

电力线从正电荷出发，到负电荷结束。多余的电力线消失于无限远处。
电荷发出的电力线数量与电荷量成正比。
电力线既不分支，也不交叉。
电力线要尽量收缩，相邻的电力线要尽量分开。

1.2 电通密度与电通量

既然电力线表示电场，那么可以说，电力线大量通过的地方电场较强。如果我们把通过某一平面（曲面）的电力线数量称为电通量。^[2]。电通量用 $\Phi$ 表示。后面可以看到，电通量的单位为 $C$ 。

电通密度是一个矢量，是单位面积上的电通量，用 $\boldsymbol{D}$ 表示，单位为 $C/m^2$ ，电通密度也可以叫电感应强度，后面可以看到，这与磁场中的磁感应强度是一致的。考虑到上面所说的电力线大量通过的地方电场较强这句话，我们可以认为单位面积上通过的电力线（电通密度）与该处的电场强度成正比。事实上，我们有
$\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}$
其中 $\varepsilon_0$ 就是在库伦定律中见到过的真空中的介电常数。根据电通量与电通密度的定义，设电力线穿过的曲面面积为 $A$ ，则有^[3]
$\Phi_d=\boldsymbol{D}A=\varepsilon_0\boldsymbol{E}A$
接下来考虑围绕一个点电荷 $q_0$ 的半径为 $r$ 闭合球面的电通量，根据上式，有
$\Phi_d=4\pi r^2 \varepsilon_0\boldsymbol{E}$
将库仑定律导出的电场强度定义带入，有
$\Phi_d=4\pi\varepsilon_0k\cdot q_0=q_0$
也就是说，通过闭合曲面的电通量等于其内部所含的电荷量。此结论十分显而易见，既然电场是电荷产生的，那么用一个闭合曲面围住电场，通过该曲面的电通量显然应该等于其中所含的电荷。由此也可以看出库伦定律中的比例常数 $k$ 是如何确定的。

用微积分的观点对上述结论进行改写，记闭合曲面为 $S$ ，则电通量可表示为电通密度的面积分
$\Phi_d=\iint_\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\boldsymbol{D}\,\mathrm{d}A=q_0$
可以用电场强度代替电通密度^[4]
$\Phi_e=\iint_\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}A=\frac{q_0}{\varepsilon_0}$
下面这种写法在分析电介质时会更容易理解。

按照上面的定义，若闭合曲面中存在 $q_1$ 和 $q_2$ 两个电荷，则通过闭合曲面的电通量为 $q_1+q_2$ 。

1.3 电荷密度与高斯定律

事实上，上述的“通过闭合曲面的电通量等于其内部所含的电荷量”即为高斯定律的文字形式。其积分形式即为
$\iint_\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\boldsymbol{D}\,\mathrm{d}A=q_0$
或
$\iint_\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}A=\frac{q_0}{\varepsilon_0}$
接下来给出高斯定律的微分形式。首先考虑一个弥漫着电荷的空间，记空间中的电荷总量为 $Q$ ，取其中一个很小的立方体，记其体积为 $B$ ，则定义空间中的电荷密度 $\rho$ 为
$\rho=\frac{Q}{B}$
从微积分的角度，空间中一个闭合曲面内部的电荷总量便可以表示为电荷密度对空间的体积分，即
$Q=\iiint_B\rho\,\mathrm{d}B$
根据散度定理，面积分可以写为散度的体积分，则有
$\iint_\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\boldsymbol{D}\,\mathrm{d}A=\iiint_B\nabla\cdot\boldsymbol{D}\,\mathrm{d}B$
则可容易看出
$\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho$
用电场强度代替电通密度则有
$\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
上述两式即为高斯定律的微分形式。表达的含义是，电通密度向量场的散度就等于该位置的电荷密度。其物理意义就是，电场是有源头的，而其源头就是单个的电荷。

高斯定律是麦克斯韦方程组的第一个方程。

1.4 导体与电介质

1.4.1 导体

导体是可以导电的物质，其中存在自由电子，在外加的电场下，自由电子可以自由运动，在导体内部产生电场，以抵消外部电场的左右，此现象的最终结果就是，在导体的一端只存在正电荷，另一端只存在负电荷，此时达到静电平衡。

静电平衡时导体内部电荷不发生移动，也就是说，内部不存在电场，此时导体内部各点的电位相同。

当导体内存在一个空洞时，由于表面的导体达成静电平衡，外表面处处电势相同，外部电场无法进入空洞内部，空洞内部处于静电屏蔽状态。

1.4.2 电介质

在电场中提及绝缘体时，我们称其为电介质。由于电介质内不存在自由电子，在外加电场的作用下无法出现静电平衡。但物质是由原子构成的，原子内部存在电子和质子，在外加电场的坐下，电介质发生极化。

若将电荷用电介质包围住，电介质内产生的极化电荷会将包入内部电荷产生的电场抵消掉一部分，也就是说，被填入电介质里的电荷激发的电场会比真空中小。

由于电通密度矢量 $\boldsymbol{D}$ 只取决于闭合曲面内部的电荷量。所以对上述填入电介质内的电荷而言，有
$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}'$
由于 $\boldsymbol{E}>\boldsymbol{E}'$ ，则有 $\varepsilon>\varepsilon_0$ ，此时的 $\varepsilon$ 为电介质的介电常数，是其故有属性。

可以定义 $\varepsilon_r=\varepsilon/\varepsilon_0$ ，称其为相对介电常数，或者相对电容率。

1.5 电容

电容一般用 $C$ 表示，两个导体版称为极板，中间可以填入电介质。电容器与静电平衡存在密切关系，是可以储电和放电的元件。

电容器的容量一般用积蓄的电荷和两电极板间的电位差（电压）来衡量，其单位为 $F$ （法拉第）或者 $C/V$ 。定义式为
$C=\frac{Q}{U}$
若极板间的距离为 $d$ ，如下图，极板间产生的电场可认为是匀强电场，

则有
$U=Ed$
若在电极板内放入电介质，则场强变小，
$E'=\frac{E}{\varepsilon_r}$
则电压也会减小，电压减小时，电容的容量是增大的。

2 电流与磁场

2.1 电流

2.1.1 电流与电流密度

电流 $I$ 是衡量电荷流动的物理量，电荷流动形成电流，电流的方向是正电荷的移动的方向，其单位为 $A$ ，单位时间内通过某面积 $S$ 的电荷量 $Q$ 为 $1C$ 时，流过导线的电流即为 $1A$ 。由此可见，电流可以看作是一种电荷通量。参照电通密度的定义，我们可以定义电流密度 $\boldsymbol{i}$ ，其也是一个矢量，单位为 $A/m^2$ ，表示的单位面积电流大小。 $\boldsymbol{i}$ 可以也可以构成一个电流密度的矢量场。

2.1.2 欧姆定律

电流密度与电场强度存在以下的关系
$\boldsymbol{i}=\sigma\boldsymbol{E}$
其中 $\sigma$ 为电导率，单位为 $S/m$ ，其中 $S$ （西门子）为电导的单位。我们中学学到的欧姆定律
$I=\frac{U}{R}$
是该定律的标化形式。

2.2 磁场

2.2.1 磁场与洛伦兹力

磁石的 $N,S$ 两极之间存在与库仑力相似的相互作用，即同性相斥，异性相吸，平方反比法则。与库仑力不同的是，我们无法得到单独的 $N$ 极或者单独的 $S$ 极，也就是说不存在”磁荷“（磁单极子）。类似于电场，我们认为磁石周围存在磁场。磁场是从 $N$ 极到 $S$ 极的一个矢量场。

19世纪时，大量的证据表明磁场可以对运动的电荷产生作用力，我们称其为洛伦兹力。

洛伦兹力由以下方程给出
$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$
其中 $\boldsymbol{B}$ 为磁通密度，也称磁感应强度，单位为 $T$ （特斯拉），也可以用磁通量 $\Phi_B$ 的单位 $Wb$ （韦伯）来表示，即 $Wb/m^2$ 。

根据上式，可以看到磁场对静止的电荷是没有作用力的。注意到速度矢量和磁通密度矢量之间为叉积而非点积，所以洛伦茨力的方向由右手法则决定，并垂直于速度的方向。

有趣的是，早期科学家是类比电场强度和电通密度的关系来定义磁通密度的，但是由于磁单极子不存在，描绘磁场力强度的矢量应该是磁通密度而非磁场强度，但由于已经长时间应用此名称，便未作修改。我们在后面还会看到磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 的出现。

2.2.2 电流与磁场

通电的导线可以使小磁针发生偏转，也就是说，电流或者说运动的电荷可以产生磁场，换种说法就是，磁场就是运动电荷（电流）之间的相互作用力。

所有的磁场，包括磁石产生的磁场，都是由电流激发出来的，也就是说，不存在”磁荷“。^[5]

那么，磁场究竟是如何产生的呢？运动的电荷对另一个运动的电荷产生的力的本质是什么呢？理论上，这种力和库仑力是相同的。我们考虑下图中的情况，导线内存在电流为 $I$ ，正负电荷以 $v$ 的速度向相反方向运行，此时导线产生一个磁通密度大小为 $\boldsymbol{B}$ 的磁场，方向如图所示。

若 $q$ 静止，则 $q$ 不受任何力。现在考虑 $q$ 与电流平行运动，速度为 $v_0$ ，此时，我们知道其会受到一个向导线方向的吸力 $\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ 。如果此时我们以速度 $v_0$ 沿着电流方向与导线外的电荷一起运动，此时对于我们而言，电荷是静止的，受力应该为零。根据相对性原理，物理现象应与所选的参照系无关，也就是说，即便我们和电荷一起运动，吸力是不会神奇地消失的。但是，如果是这样，洛伦兹力的公式岂不是出现了问题？当我们和电荷一起运动时，究竟发生了些什么呢。

我们知道，狭义相对论中有一个尺缩效应，由洛伦兹变换给出，也就是运动的物体其长度会发生变化，当我们以 $v_0$ 的速度相对导线外电荷静止时，导线内对正电荷有
$L_+'=L\sqrt{1-(\frac{v-v_0}{c})^2}$
对负电荷有
$L_-'=L\sqrt{1-(\frac{v+v_0}{c})^2}$
此时负电荷与正电荷虽然数量没有发生变化，但由于尺缩效应，负电荷方向上的体积变小，单位体积内的负电荷增多，也就是说，当我们和导线外的电荷一起运动时，我们看到的电流里的正负电荷数量无法相互抵消，此时导线外的电场不为零，导线外电荷受到一个向着导线方向的吸力，可以证明，此时的这个由于相对论效应出现的电场 $\boldsymbol{E}'=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ 。也就是说洛伦兹力其实时库仑力在相对论效应下的修正，或者说，磁场就是电场的相对论修正。

3 安培环路定律与磁性体

3.1 毕奥-萨伐尔定律与安培定律

为了研究电流，考虑电流的一个极其微小的单位，定义其为电流片段（电流元），也就是 $I\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 。因为任意的一个电流可能十分复杂，所以以还原论的观点，我们取电流的最小单位，也就是电流片段进行研究，考虑到电流其实是电荷的流动，电流片段也可表示为 $q\boldsymbol{v}$ 。

我们已经知道运动的电荷即电流产生磁场，毕奥-萨伐尔定律是确定某点处由电流激发的磁场大小的定律。

如上图，电流片段外一点的磁感应强度 $\mathrm{d}\boldsymbol{B}$ 由毕奥-萨伐尔定律给出
$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{\boldsymbol{r}}}{|\boldsymbol{r}|^3}$
其中 $\mu_0$ 是真空中的磁导率，与电场中的 $\varepsilon_0$ 概念类似。将上式两边同时求积分，便可求出空间内由电流 $I$ 决定的磁场 $\boldsymbol{B}$ 的大小，也就是说，电流激发的磁场是由电流片段激发的磁场重叠得到的。此外，可以由上式看出，电流片段的磁场是一个环形磁场。

如果我们取上式中的 $I\mathrm{d}\boldsymbol{l}=q_1\boldsymbol{v}_1$ ，并取 $\boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}$ 为 $r$ 方向上的单位矢量，则对电流片段外一个以 $\boldsymbol{v}_2$ 速度运动的电荷 $q_2$ 而言，其受到的洛伦兹力可表示为
$\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{F} & = q_2\boldsymbol{v}_2\times\mathrm{d}\boldsymbol{B} \\ & = (\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{q_1\boldsymbol{v}_1\times\boldsymbol{e}}{|\boldsymbol{r}|^2})\times q_2\boldsymbol{v}_2 \end{align}$
上式即为安培定律，在形式上与库伦定律十分相似，除开比例系数的变化，叉积和单位矢量的不同，所以说运动的电荷之间的相互作用力由安培定律给出，而这一相互作用力就是磁场。

3.2 安培环路定律

安培环路定律其实与毕奥-萨伐尔定律说的是同一件事，其基本表述如下：

沿着空间中任意一个闭合的路径对 $\boldsymbol{B}$ 进行积分，其结果与被环路包围的电流和 $\mu_0$ 的比值相等，应用条件是电流不随时间变化而变化。

用 $L$ 表示环路路径，写成积分表达式就是
$\oint_L\boldsymbol{B}\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\mu_0I$
上式就是安培环路定律的积分形式。用 $R$ 表示环路围成的面积，考虑到左侧的环路积分可以根据格林公式写为
$\oint_L\boldsymbol{B}\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\iint_R\nabla\times\boldsymbol{B}\mathrm{d}S$
而根据电流密度的定义，我们有
$I=\iint_R\boldsymbol{i}\mathrm{d}S$
结合以上各式我们有安培环路定律的微分形式
$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{i}$
若对上式两边同时取散度，因为对一个场取旋度再取散度永远是零，则有
$\mu_0\nabla\cdot\boldsymbol{i}=\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})=0$
也就是此定律要求 $\nabla\cdot\boldsymbol{i}=0$ ，而根据电荷守恒得出的电磁学连续性方程为
$\nabla\cdot\boldsymbol{i}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$
右项是电荷密度随时间的变化率，对变化的电流不为零（如电容器的极板处）。

综上，此形式的安培环路定律只适用于电流不随时间变化的情况，后经麦克斯韦加入位移电流的概念最终变得完整，修正后的安培环路定理构成了麦克斯韦方程组的最后一个方程。

3.3 磁性体与磁场强度

磁性体是我们在研究位于磁场中的物质时对该物质的名称。考虑到磁石磁性的来源其实是内部的原子电子等微粒运动产生的“电流”，可以说，磁性体内部存在无数个小的“原子磁石”，当没有外界磁场作用时，由于各个原子磁石处于无序的状态，总的情况下来看不显示出磁性。当磁性体被植入外磁场中时，如下图所示，原子磁石沿磁感线方向分布，此时由于原子磁石排列整齐，磁性体出现磁性，会有新的磁感线出现。

物质按电性质分类可分为绝缘体和导体，而按磁性质来分类可分为以下三类

现在结合安培环路定律考虑当电流在导线外的 $p$ 点产生一个磁场 $\boldsymbol{B}$ 时，我们有
$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{i}$
此时在 $p$ 点置入一个磁性体，根据上面的分析，磁性体被磁化， $p$ 点处的磁感应强度 $\boldsymbol{B}'$ 为 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}_M$ 。此时明显上式描述不全面，为解决此问题，我们引入磁场强度这一物理量，记为 $\boldsymbol{H}$ ，其与磁通密度的关系为
$\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}$
由于磁性体中存在的磁场是由外磁场激发的，其大小与外磁场的大小成正比，记比例常数即磁化率为 $\chi_m$ ，则有
$\boldsymbol{B}'=\mu_0\boldsymbol{H}+\mu_0\chi_m\boldsymbol{H}$
令 $\mu=\mu_0(1+\chi_m)$ ，称其为该物质的磁导率，则可简单得出 $\boldsymbol{B}'=\mu\boldsymbol{H}$ 。这样，在存在磁性体时，安培环路定律就可以写成
$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{i}$
或
$\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}$
和相对介电常数一样，可以定义相对磁导率，常见物质的磁导率如下表

3.4 电感

和电学中的电容一样，磁学中对应的元件是电感，电感其实就是导线缠绕形成的线圈，如下图，根据安培环路定律，可以得出电感中有电流存在时的磁场

可以看出，尽管电流片段产生的磁场是环形的磁场，但当螺旋排列时，出现两个“极”，但和电荷不同，这两个极不能单独存在，这就是经典电磁学认为磁单极子不存在的理论依据之一。

理论分析可得出当线圈内不存在磁性体时，若线圈的匝数为 $n$ ，线圈内电流为 $I$ ，则有
$\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}=\mu_0nI$
由于 $\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}$ ，故电流不变，磁场强度就不变，此时向线圈内插入相对磁导率为 $\mu_r$ 的磁性体，则有
$\boldsymbol{B}'=\mu_r\mu_0\boldsymbol{H}=\mu_r\mu_0nI=\mu_r\boldsymbol{B}$
也就是说插入磁性体后线圈（电感）内的磁场时原来的 $\mu_r$ 倍。这一点与电容器中插入电介质的情况是类似的。

当线圈中存在电流时，这个线圈就是一个电感器，和电容器的电容相似，我们定义一个物理量 $L$ 为电感，单位为 $H$ （亨利），定义式如下
$L=\frac{\Phi_B}{I}$
也就是线圈中形成的磁场的磁通量与线圈电流的比值。电感器、电容器和电阻器是电路的三大元件。

4 法拉第电磁感应定律

4.1 电磁感应

奥斯特于1820年左右发现了通电的导线可以产生磁场使小磁针偏转，后由毕奥-萨伐尔定律和安培定律完善了其数学形式。既然电可以生磁，自然地，人们开始探究磁场是否可以产生电流。

法拉第（1831）和亨利（1832）几乎在同一时间发现了电磁感应现象，也就是：

闭合导线中的感应电动势与该闭合导线所围成的面积中的磁通量随时间的变化率相等。

电磁感应的原理可以用下图做简要的说明

图中线圈的左边磁场较右边强，当线圈运动时，电荷受到来自磁场的洛伦兹力，由于左右受力不均匀，产生了电流。^[6]

4.2 法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律的文字形式就是上面说的

闭合导线中的感应电动势与该闭合导线所围成的面积中的磁通量随时间的变化率相等。

以 $\varepsilon$ 表示感应电动势，则电磁感应定律的数学形式是
$\varepsilon=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$
而感应电流方向的确定方法非常有趣，和化学平衡中的勒夏特列原理（Le Chatelier's principle）有类似之处，即感应电流产生的磁场的方向，是减弱原外加磁场的方向。

接下来给出法拉第电磁感应定律的微分形式。考虑到电动势即电压（电势差），而电势差可由电场强度积分得到，记磁场产生的电场强度为 $\boldsymbol{E}$ ，环路记号为 $L$ ，则可有
$\varepsilon=\oint_L\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}$
将上式右边用格林公式改写，再代入原始的电磁感应定律表达式，有
$\iint_A\nabla\times\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}A=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$
考虑到磁通量是在 $L$ 围成的面积 $A$ 上对磁通密度的积分，即
$\Phi_B=\iint_A\boldsymbol{B}\,\mathrm{d}A$
结合上述几式，我们有
$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$
这就是法拉第电磁感应的微分形式，也是麦克斯韦方程组的第三个式子。

5 麦克斯韦方程组

5.1 安培环路定律的麦克斯韦修正

在3.2，我们讨论了安培环路定律在变化的电流下不适用的原因。为了一般化安培环路定律，麦克斯韦提出了位移电流的概念。

如上图，考虑一个电容器，电容器充放电的过程 $A'$ 中不存在恒定电流，但是磁场依然存在。麦克斯韦认为，此时通过面 $A'$ 的变化的电场便是产生磁场的原因，而电流之所以能产生磁场，也是因为在电荷运动的过程中电场在变化。也就是说变化的电场产生磁场，而根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场产生电场，形成完美的对称。

于是麦克斯韦用以下的式子定义了变化的电通量产生的电流，即位移电流
$\frac{\partial\Phi_d}{\partial t}$
考虑到电流密度是单位面积的电流，那么位移电流也可以将上式改写成电流密度的形式，因为单位面积的电通量就是电通密度，这样，安培环路定律就可以完整地写成
$\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}$
或
$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{i}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}$
上式即为麦克斯韦方程组的第四个方程。

5.2 麦克斯韦方程组

5.2.1 高斯磁定律

高斯磁定律十分好理解，我们已经从各个方向理解了磁单极子不存在的原因。现在参照高斯定律，我们可以写出
$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$
参照高斯定律的解释，上式的物理意义是，空间中的磁场不存在一个源头，即不存在磁单极子。

5.2.2 麦克斯韦方程组

至此，我们有了高斯定律，高斯磁定律，法拉第电磁感应定律，安培-麦克斯韦环路定律，将这四个方程写在一起，就构成了大名鼎鼎的麦克斯韦方程组，
$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{E} &=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla\cdot\boldsymbol{B} &=0 \\ \nabla\times\boldsymbol{E} &=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla\times\boldsymbol{B} &=\mu_0\boldsymbol{i}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}$
从上到下分别是电场的散度、磁场的散度、电场的旋度、磁场的旋度，而考虑后两式，则揭示了变化的磁场与电场，变化的电场与磁场之间的关系，其对称性和简洁性是经典物理学的巅峰。难怪有人感叹麦克斯韦方程组是上帝写下的诗篇。

当然，麦克斯韦最初的论文里不光有这四个方程，后由赫兹等人删去了不必要的一些方程，便有了我们今天看到的这个优美的方程组。麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的集大成之作，包含了所有经典电磁学的规律。

5.3 真空中的麦克斯韦方程组、电磁波及光速

当我们考虑真空中的麦克斯韦方程组时，由于真空中不存在电荷，也不存在电流，故 $\rho$ 和 $\boldsymbol{i}$ 均为零，则上面的方程组变为
$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{E} &=0 \\ \nabla\cdot\boldsymbol{B} &=0 \\ \nabla\times\boldsymbol{E} &=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla\times\boldsymbol{B} &=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}$
对后两式两边同取旋度（ $\nabla\times$ ），则有^[7]
$\begin{align} \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\nabla^2\boldsymbol{E} &=-\frac{\partial(\nabla\times\boldsymbol{B})}{\partial t}=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2} \\ \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{B})-\nabla^2\boldsymbol{B} &=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial(\nabla\times\boldsymbol{E})}{\partial t}=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2} \end{align}$
整理可得
$\begin{align} \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}-\nabla^2\boldsymbol{E} &= 0 \\ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2}-\nabla^2\boldsymbol{B} &= 0 \end{align}$
考虑到一个典型的波动方程可表示为
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\nabla^2u$
其中 $c$ 为波速。

可看出真空中麦克斯韦方程导出的关于电场强度和磁感应强度的方程与上述方程相似，也就是说存在由电场和磁场震荡产生的波，也就是电磁波。其波速为
$c=\sqrt{\frac{1}{\mu_0\varepsilon_0}}$
代入实验得出的真空中的介电常数与磁导率的数值，可计算出电磁波的波速为 $3.0\times10^8m/s$ ，这与当时已知的光速是一致的。就是根据这一计算，麦克斯韦提出了经典电磁学最伟大的预言，即存在电磁波，同时光就是一种电磁波。后来赫兹成功地证实了电磁波的存在，又由马可尼等人提出利用电磁波传递信息的电报理论，经过一代又一代理论物理学家和发明家的努力，才有了我们现在丰富多彩的世界。尽管相对论和量子力学诞生以来，大部分的物理学都经过了改造，我们看到的经典物理学，不过是低速情况下的近似，但经典力学、经典电磁学的光辉，经过时间的磨砺，仍没有褪色。向麦克斯韦致敬，向经典电磁学致敬。

关于这一点，如果从库仑力做功，或者说从电势是电势能导出的概念来看会更清晰。 ↩
严格意义上，电通量不是电力线的数量，而是电场强度对曲面的面积分，即 $\iint_s\boldsymbol{E}\mathrm\,{d}A$ 。 ↩
这里严格意义上应该是用电通密度矢量的模长去乘以面积，更准确地来说，应该使用面积分来定义，这里只是简便起见。 ↩
电通量的定义，可以从电通密度积分给出，也可以从电场强度积分给出，分别记为 $\Phi_d$ 和 $\Phi_e$ 。 ↩
当然，在现代物理学的某些理论中允许磁单极子的存在，但是目前来看尚未找到磁单极子存在的决定性证据。 ↩
这里想象一个水车，当一次收到水流的冲击力大于另一侧时产生转动。当然实际情况比这里所说的要复杂，因为考虑到转动磁石也可以引起感应电流，而转动磁石时电荷是静止的，理论上不受洛伦兹力，要解决这个问题，需要借用狭义相对论的知识了。 ↩
旋度的旋度由以下公式给出： $\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A}$ ，其中 $\nabla^2$ 为拉普拉斯算子，等于 $\nabla\cdot\nabla$ ↩

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 213,864评论 6赞 494
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 91,175评论 3赞 387
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 159,401评论 0赞 349
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,170评论 1赞 286
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,276评论 6赞 385
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,364评论 1赞 292
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,401评论 3赞 412
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,179评论 0赞 269
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,604评论 1赞 306
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,902评论 2赞 328
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,070评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,751评论 4赞 337
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,380评论 3赞 319
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,077评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,312评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,924评论 2赞 365
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,957评论 2赞 351