经典智力题-试验

题目

小白鼠

有1000个一模一样的瓶子，其中有999瓶是普通的水，另一瓶是无色无味毒药。只要有微量毒药进入生物体内都会导致其在一星期之后死亡。现在，只允许你利用10只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？

金币

有10袋金币，但其中有一袋金币全是假的，已知一枚真金币10g，一枚假金币比真金币少1g。现在有一个电子秤可以称出物体的重量，秤范围和精度均足够，最少需要称几次才能知道哪袋是假金币?

天平

12个外观一致的小球，其中11个质量一致，1个质量稍稍不同。用一个无刻度的天平，能否只称3次找到这个小球？

解答

小白鼠

只利用10只小白鼠做实验，一个可行的想法是给每只小白鼠注射若干瓶中的液体，如果我们能巧妙的规划每个小白鼠注射哪几瓶的液体，那么就可以根据小白鼠的死亡情况推出哪瓶液体有毒。
我们先来看看这个思路是否可行：10个小白鼠一共能表达多少种不同的情况。一周后，每个小白鼠只有两种情况，生存或死亡，所以10个小白鼠一共有种情况。而1000瓶液体中只有一瓶有毒，只有1000种情况。所以用10个小白鼠的死活情况表达毒药的所有情况是非常有可能的。
我们将小白鼠的死亡情况和哪瓶是毒药的情况一一对应，就能反推出一个可行的注射方案。

虽然有些麻烦，但终究能得到一个可行方案。当然，利用二进制的一些性质，我们也有办法得到一个更优雅的方案。
将每个瓶子的编号转换成二进制，在前面补0直到其拥有10位，将这10位和10个小白鼠对应，0代表不注射，1代表注射。
比如对于编号400，转为二进制0110010000，这表示给2、3、6号小白鼠注射第400号瓶中的液体。
一周后，将小白鼠死亡情况写成二进制，再转回十进制便是有毒的瓶子的编号。

金币

哪一袋为假金币只有10种可能性，而电子秤的称一次得到读数结果的可能性肯定远大于10，我们完全可以试试一次称出来。
从第1个袋子中取1枚金币，第2个袋子中取2枚金币，第3个袋子中取3枚金币……
如果全是真的，总重应为 10g×(1+2+…+10)=550g。所以如果实际称重结果少1g，意味着第1袋金币是假的；如果实际称重结果少2g，意味着第2袋金币是假的……

天平

蛮经典的题目，除了这题，还有简单版本的9个球或已知质量有问题的球是轻还是重。
每次称重的结果有3种，左边重、右边重、一样重。称3次一共有中可能性。而质量不同的小球可能轻或重，这是两种可能，其编号有12中可能，共2×12=24种可能。24<27，这说明是有可能找到可行方案的。
为了能在三次内找到这个小球，我们需要高效的方案。我们期望每次称完，都能排除2/3的可能性，即：第一次称完，只剩下8种可能；第二次称完，剩下2至3种可能；最后一次就能找到结果。
大家可以先尝试思考一下再继续看。

将球分成3组，每组四个，编号：(ABCD)(EFGH)(IJKL)。这样第一次称重完刚好排除2/3的可能性，其他方式的分组不能达到这种效率。
(ABCD)和(EFGH)称重，有三种情况：

• ABCD > EFGH：剩下A重、B重、C重、D重、E轻、F轻、G轻、H轻8种情况。
  • 我们希望，下一次称完，能将可能性减少到2至3个。显然称重的素材应该从A-H中选。如果从中选取4个球，一边两个进行称重，那么一旦天平平衡，意味着有问题的球在剩下的4个球中，即剩下4种可能，这不符合我们的期望。继续思考发现可以从中选取6个球，一边3个进行称重，这样一旦天平平衡，意味着有问题的球在剩下的2个球中，即剩下2种可能。通过精心挑选小球并设计摆放位置，可以让天平在向左或向右倾斜时，都只剩下3种可能。
    (ABE)和(CDF)称重：
    • ABE > CDF：剩下A重、B重、F轻3种情况。
      • A、B称重即可。
    • ABE < CDF：剩下C重、D重、E轻3种情况。
      • C、D称重即可。
    • ABE = CDF：剩下G轻、H轻2种情况。
      • G、H称重即可。
• ABCD < EFGH：剩下A轻、B轻、C轻、D轻、E重、F重、G重、H重8种情况。
  • 和前面的类似，略
• ABCD = EFGH：剩下I重、J重、K重、L重、I轻、J轻、K轻、L轻8种情况。
  • 如果我们将IJKL全用上，一边两个进行称重，显然不会出现平衡的情况，这导致一种可能性被浪费。如果我们从中挑取两个球进行称重，一旦天平平衡，就剩下了4种情况，也不行。我们可以从中选取3个球，再加入一个已知没有问题的小球，进行称重。
    (AI)和(JK)称重：
    • AI > JK：剩下I重、J轻、K轻3种可能。
      • J、K称重即可。
    • AI < JK：剩下I轻、J重、K重3种可能。
      • J、K称重即可。
    • AI = JK：剩下L重、L轻2种可能。
      • A、L称重即可。