一、消元EA=U

对矩阵A进行消元操作后(E)可得到U，在A可逆且A非Permutation Matrix(即消元时不需要进行行交换)时，消元后U为上三角矩阵。(以下研究暂不涉及行互换操作)

E.g. 

即矩阵A经过消元后可得到U。其中U为上三角矩阵，为矩阵U的三个支点。

将上述方程组的增广矩阵进行消元获得：

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该增广矩阵消元后的矩阵方程的解等价于原方程组的解。

进一步研究矩阵A消元过程中的细节

Step1: 

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依据在矩阵A左边乘一个矩阵相当于对A进行行操作。当我们在A左边乘一个单位矩阵时，A不变。而因为我们在第一步消元时对进行操作获得，因此，欲获得A左边的矩阵，单位矩阵的第二行将变形。由于是，可知位置为(-3)，将该矩阵记为。则有：

因此，我们可以用单位矩阵来记录矩阵每一步的消元过程。

Step2：

同理，在该过程中我们对第三行进行操作，因此单位阵的第三行发生变换，使用Row2进行加乘，则位置发生变化。记为。消元结果为U，则有：

消元过程可记为：

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Ps:该过程可看出矩阵相乘可使用结合律(Associative Law)。