一个疑惑：解释变量中类别变量的处理

我们知道，当分类自变量的类别大于两个的时候，需要建立一组虚拟变量（哑变量）来代表变量的归属性质。一般虚拟变量的数目比分类变量的数目少一个，少掉的那个就作为参照类（reference category），参照类的选取是随意的。

问题来了：为什么要这么做呢？如果把这个类别变量（尤其是有序变量）当做连续变量处理，有什么不对的地方吗？

举个栗子：教育变量在回归中作为控制变量。按教育程度由低到高依次记为 1~6，回归中把教育作为一个连续变量 edu 和作为 6 个哑变量 edu1~edu6 处理有何不同？

从系数含义来讲，作为连续变量的 edu，其系数代表每提升一个教育程度对因变量的影响。由于结果中只有一个系数，其潜在假设是 edu1 和 edu2 对因变量影响的差异 = edu2 和 edu3 对因变量影响的差异 = edu3 和 edu4 对因变量影响的差异 = ……。现实中满足这种假设的情形极为少见。

若作为哑变量处理，参照类的系数为 0，其余哑变量的系数代表与参照类相比对因变量的影响多多少（高出的截距）。它允许各类之间的影响存在差异，可以刻画的情形更多，适用范围更广。

高级计量经济学（陈强著第2版）.png

从模型上看，作为连续变量处理的模型为
$y = \alpha +\beta _{1} X_{1}+ \beta _{2} edu+\epsilon$
作为虚拟变量处理的模型为
$y = \alpha +\gamma_{i} edu_{i} + \beta _{1} X_{1} +\epsilon$
引入虚拟变量的本质是对不同类别的子样本使用不同的截距项（引入虚拟变量的交乘项则是使用不同斜率）。该式子等价于
$y = \left\{ \begin{array}{**lr**} \alpha + \beta _{1} X_{1} +\epsilon, & edu_{1}=1 & \\ \alpha +\gamma_{2} + \beta _{1} X_{1} +\epsilon, & edu_{2}=1\\ \alpha +\gamma_{3} + \beta _{1} X_{1} +\epsilon, & edu_{3}=1\\ \alpha +\gamma_{4} + \beta _{1} X_{1} +\epsilon, & edu_{4}=1\\ \alpha +\gamma_{5} + \beta _{1} X_{1} +\epsilon, & edu_{5}=1\\ \alpha +\gamma_{6} + \beta _{1} X_{1} +\epsilon, & edu_{6}=1\\ \end{array} \right.$

回到问题上，在类别变量是有序的，且编码间隔为 1，且已知相邻类别间对因变量的影响大致相等的情况下，作为连续变量处理的模型估计出来的系数 $\beta_{2}$ 是不是无偏的？此时的 $\beta_{2}$ 与 $\gamma_{i}$ 有什么关系？

（亲身实践表明，确实会有偏误，系数和 t 统计量都会偏大（负数的话绝对值更小）。在样本量较小、类别变量较多的情况下，比如用子样本回归，用连续变量处理会使不显著的会变为显著。另一个问题是：当模型中的哑变量太多，是否会降低系数的显著性？）

在通常情况下，虚拟变量往往用作控制变量。如果不关心 $\beta_{2}$ 的系数准确性，这样的模型设定会不会影响核心解释变量的估计量 $\beta_{1}$ 的准确性？

一个疑惑：解释变量中类别变量的处理

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