线性方程组（二）- 行化简与阶梯形矩阵

行化简与阶梯形矩阵

矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列。非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。

一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形）矩阵，若它有一下三个性质：

每一非零行都在每一零行之上。
某一行的先导元素所在的列位于前一先导元素的右边。
某一先导元素所在列下方元素都是零。
若一个阶梯形矩阵还满足一下性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）矩阵。
每一非零行的先导元素是1.
每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

阶梯形矩阵对应的方程组就是三角形形式。

任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行等价于阶梯形矩阵 $\boldsymbol{U}$ ，则称 $\boldsymbol{U}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的阶梯形矩阵；若 $\boldsymbol{U}$ 是简化阶梯形矩阵，则称 $\boldsymbol{U}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的简化阶梯形矩阵。

主元位置

矩阵中的主元位置是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。主元列是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的含有主元位置的列。

把矩阵 $\begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7\end{bmatrix}$ 化为阶梯形矩阵，并确定主元列。
解：使用用初等行变换进行转化。记号“～“表示它前面和后面的两个矩阵是行等价的。

将第一行于第四行对换（对换变换）
$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$
将第一行的倍数加到其他各行，以使第一个主元位置下面各元素变成0。（倍乘变换和倍加变换）
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$
将第一行的倍数加到其他各行，以使第一个主元位置下面各元素变成0。（倍乘变换和倍加变换）
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}$
将第三行于第四行对换（对换变换）
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
是所求阶梯形矩阵。第1、2、4列是主元列。

主元是在主元位置上的非零元素。在矩阵转换过程中，通过初等行变换用主元将下面的元素化为0。上述转换过程中，我们使用的主元是1，2，5。

行简化算法

用初等行变换把矩阵 $\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]$ 先化为阶梯形矩阵，再化为简化阶梯形矩阵。
解：

确定主元列
由最左的非零列 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]$ 开始。这是一个主元列。主元位置（0所在位置）在该列顶端。
选取主元
在主元列中选取一个非零元素作为主元。若有必要的话，对换两行使这个元素移动主元位置上。
$\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$
主元下面元素化0
用初等行变换将主元下面的元素变成0。
$\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$
迭代处理子矩阵
除去主元位置所在的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤，直到子矩阵无非零列。
$\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right]$
此矩阵即为所求阶梯形矩阵。
所有主元上面元素化0，主元化1
由最右边的主元开始，把每个主元上面的各元素变成0。若某个主元不是1，先用倍乘变换变成1。
$\quad \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$
～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$
～ $\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$
此矩阵即为所求简化阶梯形矩阵。

第一至四步称为行化简算法的向前步骤，产生唯一的简化阶梯形矩阵的第五步称为向后步骤。

行化简算法通常称为高斯消去法。在第二步选取主元时，计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元。这种方法通常称为部分主元法，可以减少计算中的舍入误差。

线性方程组的解

行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。

设某个线性方程组的增广矩阵已化为行等价的简化阶梯形矩阵 $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]$ 。因为增广矩阵有4列，所有有3个变量。对应的线性方程组是 $\begin{cases}{ x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0}\end{cases}$ 。对应于主元列的变量 $x_1$ 和 $x_2$ 称为基本变量。其它变量 $x_3$ 称为自由变量。

只要一个线性方程组是相容的，其解集就可以显式表示。（若有自由变量，用自由变量表示基本变量。）简化阶梯形矩阵使每个基本变量仅包含在一个方程中，容易解出简化阶梯形矩阵 $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]$ 的解集的表示式： $\begin{cases}{ x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量}\end{cases}$ 。
表示式给出的解称为方程组的通解。（因为它给出了所有解的显示表达。）这种解集的表示式称为解集的参数表示。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。

求解线性方程组的通解，该方程组相容且其增广矩阵已经化为 $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$ 。
解：该矩阵已是阶梯形矩阵。使用行化简算法将其化为简化阶梯形矩阵。
$\quad \left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$
～ $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$
增广矩阵有6列，所以原方程组有5个变量，对应的方程组为 $\begin{cases} {x_1 + 6x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 5 \\ x_5 = 7 } \end{cases}$
矩阵的主元列是第1、3、5列，所以基本变量为 $x_1$ ， $x_3$ ， $x_5$ ，剩下的变量 $x_2$ 和 $x_4$ 为自由变量。我们得到通解为 $\begin{cases} x_1 = -6x_2 - 3x_4 \\ x_2为自由变量 \\ x_3 = 5 + 4x_4 \\ x_4为自由变量 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}$

当一个方程组是相容的且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。例如线性方程组 $\begin{cases}{ x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0}\end{cases}$ 的解集的另一种参数表示 $\begin{cases}{ x_1 = 21 - 5x_2 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量}\end{cases}$ 。不过，我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。
当方程组步相容时，解集是空集。无论方程组是否有自由变量，解集无参数表示。

存在与唯一性问题

确定线性方程组 $\begin{cases}{ 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 +8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 }\end{cases}$ 的解是否存在且唯一
解：上面案例中已化出其阶梯形矩阵
$\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right]$
主元列是第1、2、5列，所以基本变量是 $x_1$ ， $x_2$ 和 $x_5$ ，自由变量是 $x_4$ 和 $x_5$ 。

当一个方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，且主元列不包含最右列（对应方程形如 $0 = b$ ）时，每个非零方程包含一个基本变量，它的系数非零。或者这些基本变量已完全确认（此时无自由变量），或者至少有一个基本变量可用一个或多个自由变量表示。对于前一种情形，有唯一的解；对后一种情形，有无穷多个解（对应于自由变量的每一个选择都有一个解。）

故方程组的解存在，且有无穷多个解。

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 $\left[\begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & b \end{matrix}\right],\ b \neq 0$ 的行。若线性方程组相容，则它的解集可能有两种情形：

当没有自由变量时，有唯一解；
若至少有一个自由变量，则有无穷多解。

应用行化简算法解线性方程组的步骤

写出方程组的增广矩阵。
应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形矩阵。确定方程组是否相容。如果不相容，则方程组无解并停止；否则进行下一步。
继续行化简算法得到它的简化阶梯形矩阵。
写出由第3步所得矩阵对应的方程组。
写出解集的参数表示。

小结

阶梯形（或简化阶梯形）矩阵的定义
主元位置的定义
行化简算法的定义
应用行化简算法解线性方程组