6.3 假设检验的决策依据-显著性水平怎么算

以总体均值的假设检验为例讲述如何做出决策。

1. 基于统计量进行决策

① 前面说过很多遍：样本均值服从期望为总体均值 $\mu$ ，方差为 $\frac{\sigma ^2}{n}$ 的正态分布。

② 原假设是，总体的均值等于 $\mu_0$ ，即 $\mu = \mu_0$

③ 如果总体均值真的真的真的就是 $\mu_0$ ，根据①的描述，样本均值的概率分布就是酱婶儿的： $\bar x$ ~ $N(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n})$ ，（σ未知时用s代替），进一步写为： $\frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ ~ $N(0, 1)$ 。

④ 根据事先设定好的显著性水平α，给上述分布划定拒绝域和非拒绝域（最重要一步）

这个图太丑了

拒绝域如何划定和使用：

i. 首先根据设定的显著性水平α对称的划定阴影区域（区域面积为α）。如果原假设是正确的，那么采集的样本的均值落到阴影区域的概率是α。通常事先设定的α阈值都是非常小的，比如0.05，0.01等。如果原假设是正确的，样本均值落到阴影区域的概率是非常低的。阴影部分就叫拒绝域。，

ii. 如果我们采集了一个样本，其均值恰好落在了阴影区域，代表着：在原假设正确的前提下，一个概率非常低的事件发生了。这意味着原假设很可能是不对的，所以我们拒绝原假设。这就是为什么阴影区域叫拒绝域。

iii. 原假设是正确的也有α的概率样本均值落在了拒绝域，因此α也代表了“原假设是正确的我们却拒绝了原假设”的概率，即第I类错误概率。

iv. 上述描述以双侧检验为例，单侧检验也是类似的。

基于统计量的进行决策时，只把标准化后的统计量分布划分了拒绝域与非拒绝域，然后根据估计值落在了哪里来决定是拒绝还是不拒绝原假设，而没有进一步考察估计值具体落在了哪里，比如离拒绝域与非拒绝域的界线是近还是远，这相当于丢失了一部分信息。结果是，只给出了犯第I类错误的概率上限，这个上限就是事先确定好的α，而没有给出，犯第I类错误的概率具体是多少。

2. 基于P值进行决策

弄懂了基于统计量进行决策，根据P值进行决策就很简单了。简述如下：

① 与上述相同，基于原假设，样本均值服从分布： $\frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ ~ $N(0, 1)$ ；

② 实际采样计算出来一个样本均值，即一个估计值 $\bar x _ 0$ ；

③ 以该值（标准化后）为界，划分拒绝域与非拒绝域（具体划分方式依是双侧检验、右侧检验还是左侧检验而定）；

④ 以该值为界划分拒绝域与非拒绝域时，可以反推出对应的显著性水平，记为P，称为“观察到的显著性水平”；

⑤ 若P<α，则拒绝原假设，若P>α，则不拒绝原假设。

基于P值进行决策的好处时，在做出来拒绝原假设的决策后，可以给出犯第I类错误的概率具体为P（而不是上界为α）。