周期信号的傅里叶级数与周期信号的傅里叶变换

参考书籍：信号与系统（上册）-郑君里

这本书“第三章傅里叶变换”讲的非常好
148页 3.9 周期信号的傅里叶变换章节为切入点
114页 3.4 傅里叶变换
155页 3.10 抽样信号的傅里叶变换

3.9节选

关键词：冲激函数

以上几节讨论了周期信号的傅里叶级数以及非周期信号的傅里叶变换问题。在推导傅里叶变换时,令周期信号的周期趋近无穷大,这样,将周期信号变成非周期信号,将傅里叶级数演变成傅里叶变换,由周期信号的离散谱过渡成连续谐。现在研究周期信号傅里叶变换的特点以及它与傅里叶级数之间的联系,目的是力图把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来,使傅里叶变换这一工具得到更广泛的应用,使我们对它的理解更加深人、全面。前已指出,虽然周期信号不满足绝对可积条件,但是在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下,绝对可积条件就成为不必要的限制了,在这种意义上说周期信号的傅里叶变换是存在的。

3.4节选

关键词：频谱密度函数

在前两节已经讨论了周期信号的傅里叶级数,并得到了它的离散频谱。本节把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中去,导出傅里叶变换。
仍以周期矩形信号为例,由图3-18可见,当周期T,无限增大时,则周期信号就转化为非周期性的单脉冲信号。所以可以把非周期信号看成是周期 T1趋于无限大的周期信号。上一节已经指出,当周期信号的周期 T1增大时,谱线的间隔 $w_1(={2\pi}/{T_1})$ 变小,若周期T,趋于无限大,则谱线的间隔趋于无限小,这样,离散频谱就变成连续频谱了。同时,由式(3- 11)可知,由于周期 T,趋于无限大,谱线的长度 $F(nw_1)$ 趋于零。这就是说,按 3.2 节所表示的频谱将化为乌有,失去应有的意义。但是,从物理概念上考虑,既然成为一个信号,必然含有一定的能量,无论信号怎样分解,其所含能量是不变的。所以不管周期增大到什么程度,频谱的分布依然存在。或者从数学角度看,在极限情况下,无限多的无穷小量之和,仍可等于一有限值,此有限值的大小取决于信号的能量。
基于上述原因,对非周期信号不能再采用3.2节那种频谱的表示方法,而必须引入一个新的量-称为“频谱密度函数”。下面由周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换,并说明频谱密度函数的意义。

3.10节选

关键词：时域抽样、频域抽样

摆在我们面前的两个问题是:

(1)抽样信号 $f_s(t)$ 的傅里叶变换是什么样子? 它和未经抽样的原连续信号 $f(t)$ 的傅里叶变换有什么联系?
(2)连续信号被抽样后,它是否保留了原信号 $f(t)$ 的全部信息,也即,在什么条件下,可从抽样信号 $f_s(t)$ 中无失真地恢复出原连续信号 $f(t)$ ?
我们把第(2)个问题留待下节专门研究,本节只解决第(1)个问题与时域抽样相对应,在本节也安研究频城抽祥----频谱函数在 $w$ 轴上被抽样脉冲抽取离散值的原理。通过本节与下节的讨论,将把傅里叶分析的方法从连续信号与系统推广到离散信号与系统,为第七至十二章以及数字信号处理课程的研究作初步准备。

最后编辑于：2019.01.15 23:42:54