小数表示法(定点法、浮点法)

——TechZone(Harris)

在计算机的数据存储里面，常规思路来看，是只能表示有限位数的整数的。但是，无论是在日常生活中，还是在科学研究领域，小数(严格来讲应该是分数)都是不可或缺的部分。那么，如何让计算机能够存储并使用小数呢？这篇文章就带大家一起来了解下两种常用的小数表示法：定点法和浮点法。

定点数：用二进制来表示小数

其实，整数和小数的主要区别，我们可以不规范地理解为是否存在小数点，对吧？（其实整数也是有小数点的，我们这里暂且这么理解）那么要表示小数，只需要在整数表示的基础上，加一个小数点，不就可以了吗？没错，这就是定点数的思路。

定点数使用二进制，小数点的位置是事先约定好的，在使用的过程中不能改变，这也是定点数的名称的由来。有的同学可能会问了，那么，小数如何从十进制换成定点数呢？不着急，且看下面的例子：

其实很简单，和整数部分的完全相反。连续将小数部分的值乘以2，对于每一次得到的数，若整数为0，则顺序记下一个0，若整数突破了1，则记下1，然后整数部分重置为0，小数部分继续重复上述操作，直到小数部分为0为止。就像下面这样：

十进制的0.125

0.125*2=0.25 （记下0）

0.25*2=0.5 （记下0，则目前为00）

0.5*2=1.0 （整数部分为1，记下1，则目前为001）

小数部分为0，转换结束（这里是刚好结束，若整数位进一后小数部分还有剩余，则把整数部分变成0再继续重复上面的算法）

则十进制0.125的二进制形式为0.001

二进制转十进制：

$101.011_{(2)}$

$=1*2^2+0*2^1+1*2^0+0*2^{-1}+1*2^{-2}+1*2^{-3}$

$=5\frac{3}{8}$

看懂了吧，从小数点开始往右数，第一位小数的位权为-1，后面-2，-3以此类推。

二进制小数点向左移动一位，相当于这个数的数值除以2；相反，向右移动一位就是乘以2。

一般在现在计算机的应用中，定点数一般只有两种情况，第一种是小数点在符号位之后，也就是表示纯小数，第二种是在最后，也就是表示整数。这种表示方法的范围并不大，如果需要表示类似于 $2*10^{100}$ 这样的数值的话，那么用定点数的话就会占很大的空间。（毕竟你要很多很多个0才行，对吧）于是乎，我们的先人又开始秀智商了。

浮点数：表示更大范围的小数

上面的例子我们已经看到了定点数的局限性，于是，先人们就祭出了浮点数大法，来让我们更好地表示数(tuō)字(fà)。

如果上面的例子还不能够说服你的话，我下面再举个栗子：

表示一组数，0.123，1.23，12.3，123

如果此时你用定点数来表示的话，你会发现，这四组数字的表示方法完全不同。但是，我们的数学经验却又告诉我们，这几个数字其实是可以用一种通式来表示的，你应该已经想到了，就是科学计数法。如果使用科学计数法，那么这几组数字的通式可以表示为 $0.123*10^n$ 。貌似比什么定点数方便多了。

但是，我们知道，计算机是用来处理二进制的，那么，我们在二进制里面，可不可以打造一套类似于科学计数法的思路来表示小数呢——这就是浮点数的基本思路。浮点数的表示方法有点类似科学计数法，但是又比科学计数法要复杂。

不多废话，我们来看看到底有什么猫腻。

在IEEE 754中，规定了浮点数用以下形式来表示： $V=(-1)^S*M*2^E$

有点懵？先不着急，首先这个公式的三个部分，分别是符号位*尾数*阶码

符号位(Sign)：决定这个数是正数(S=0)还是负数(S=1)；
尾数(Frac)：决定这个数的精度以及主体部分，这里采用定点法表示；
阶码(Exp)：决定这个数的范围，它是一个加权值，权重是2的E次幂。

浮点数常用的有两种：单精度浮点数和双精度浮点数。

单精度浮点数用32bit来存储，其结构如下：

| S(1bit) || Exp(8bit) || Frac(23bit) |

而双精度浮点则使用64bit来存储，结构如下：

| S(1bit) || Exp(11bit) || Frac(52bit) |

我们现在知道了浮点数的封装结构，那我们接下来来了解下它是如何表示小数的。

规格化的值

当Exp字段不全为0或不全为1时，表示的就是规格化的值。这几乎表示了绝大部分日常浮点数的情况。

此时，阶码使用移码来表示。什么是移码呢？我们要知道，Exp字段是表示无符号数字的，这样更方便计算(不用涉及到反码什么的)。但是，我们日常生活中，指数是可能为负数的，对吧？那么如何使用无符号的数字来表示有符号的数字呢？很简单，加个偏移量就行了。比如我们现在要表示-5到+5的数字，但是我们必须要用无符号来表达，那么很自然，我们把这里面所有的数字都加个5，变成了0到10，那么系统要调用的时候，再把每个值都减去5即可。这个5实际上就是偏移量。那么这个偏移量我们怎么知道呢？记住公式即可 $Bias=2^{n-1}-1$ ，其中Bias就是偏移量。既然都讲到了Exp字段，自然是要来算指数了，那么指数E该怎么求出？还是公式： $E=Exp-Bias$ ，直接减去偏移量即可。

而Frac则用来表示尾数的(用定点数的方式表达，纯小数)。尾数定为 $M=1+Frac$ ，你可以理解为这种情况下，尾数中的1是白送的，加上去即可。
非规格化的值

当Exp字段全部为0时，就是非规格化的值，此时 $E=1-Bias$ ， $M=Frac$ 。此刻，尾数的值就是小数的值，整数部分不是1而是0，这种情况用于表示很接近0.0的小数。
无穷大

当Exp字段全为1且Frac字段全为0时，则表示无穷大。若 $S=0$ 则表示 $+\infty$ ， $S=1$ 则表示 $-\infty$ 。
NaN(Not a Number)

在无穷大的情况下 $Frac\neq0$ 时，表示不是实数或者不能使用无穷大表示的情况。