类比记忆薛定谔方程

薛定谔方程的建立无非是一些数学上的把戏，这里只给出一个结果： $[-\frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2+V(\vec r)]\Psi (\vec r,t)=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (\vec r,t)$

这个方程看起来很复杂，其实不然. 它可以直接与 $E=\frac{p^2}{2m} +V$ 做类比. 引入能量算符 $\hat E:=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$ 和动量算符 $\hat p:=-i\hbar \nabla$ , 并且将其作用在波函数 $\Psi (\vec r,t)$ 上，那么薛定谔方程就可以写成 $\hat E\Psi =(\frac {1}{2m} \hat p^2+V)\Psi$ . 这两个算符的良定义不赘述.

最开始可以考虑一维、势能不随时间变化（定态）的模型，此时 $\nabla^2 =\frac {d ^2}{d x^2}$ ，方程写成 $E\psi =-\frac{\hbar^2 }{2m} \frac{d^2 \Psi }{dx^2}+V(x)\psi$ . 一个最简单的模型是一维无限深势阱，此时 $V(x)=\infty ,0≤x≤d, 否则为0.$ 薛定谔方程进一步化简为： $E\psi +\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{d^2\psi }{dx^2}=0$ . 结合 $\psi (0)=\psi (d)=0$ 以及 $\int _{\mathbb R}|\psi _n|^2=1$ , 可以解得 $\psi _n=\sqrt {\frac{2}{d}}\sin \frac{n\pi x}{d},n=1,2,3,...$ 都是解. 随着 $n$ 取不同的值，粒子出现在各处的概率不同，我们无从得知粒子究竟在哪儿.