2019-05-09

  • 相似矩阵的定义和性质
  • 设A,B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P使得P^{-1}AP = B，则称A与B相似，记为A\sim B
  • 性质1：矩阵间的相似关系是一种等价关系。
    • 1、反身性：A\sim A
    • 2、对称性：A\sim B \implies B \sim A
    • 3、传递性:A \sim B,B\sim C \implies A\sim C
  • 性质2：设A\sim B，f是一个多项式，则f(A)\sim f(B)，其中f(x) = a_nx^n+...+a_1x+a_0
    • 证明：A\sim B \implies \exists P可逆，P^{-1}AP = B,\implies B^2 = P^{-1}APP^{-1}AP = P^{-1}A^2P \implies B^i = P^{-1}A^{i}P
    • f(B) = a_nB^n+...+a_1B+a_0E = \sum_{i = 0}^{n}a_iB^{i}
    • = \sum_{i = 0}^{n}a_iP^{-1}A^{i}P= P^{-1}(\sum_{i = 0}^{n}a_iA^{i})P = P^{-1}f(A)P
    • f(A)\sim f(B)
  • 性质3: 设A\sim B，则(1)|A| = |B|,(2)r(A) = r(B),(3)tr(A) = tr(B)
    • tr(A),trace of A,迹
    • M = (m_{ij}),tr(M) = m_{11}+...+m_{nn}
    • tr(MN) = tr(NM)
      • 证明：M = (m_{ij})，N = （n_{ij}）,(M)_{ij}=m_{ij}
      • tr(MN) = \sum_{i = 1}^{n}(MN)_{ii} = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n(M)_{ij}(N)_{ji}
      • = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n(m)_{ij}(n)_{ji}
      • = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^n(n)_{ji}(m)_{ij}
      • = \sum_{j = 1}^n(NM)_{jj} = tr(NM)
    • 证明：B = P^{-1}AP
      • trB = tr P^{-1}AP
      • trB = trAPP^{1} = trA
  • E(i,j)^{-1} = E(i,j)
  • 特征值向量的定义
  • P^{-1}AP = \Lambda = diag\{ \lambda_1,...,\lambda_n \}，其中P = (\xi_1,...,\xi_n)，则AP = P\Lambda，进而有A\xi_i = \lambda_i\xi_i(i = 1,...,n)
    • 特征值与特征向量是一一对应的，A是n阶方阵，\xi是特征向量，非零性。
    • 特征向量不唯一
  • 1、若A\xi = \lambda\xi，其中\xi\neq 0，则对于任意非零数k，A(k\xi) = \lambda(k\xi)，其中k\xi \neq 0，也就是说\xi是特征向量，则k\xi也是特征向量，其中k是任意非零数。
  • 2、若A\xi_i = \lambda\xi_i,i = 1,...,s，其中\xi_1,...,\xi_s线性无关，则对于任意不全为零的数k_1,...,k_s，A(k_1\xi_1+....+k_s\xi_s) = \lambda(k_1\xi_1+...+k_s\xi_s) ，其中k_1\xi_1+...+k_s\xi_s\neq 0，也就是说\xi_1,...,\xi_s是特征向量，则k_1\xi_1+...+k_s\xi_s是特征向量，其中k_1,...,k_s为任意不全为零的数。
  • n阶矩阵A的一个特征值为\lambda,\xi为对应的特征向量，则P^{-1}AP的特征值为\lambda，特征向量为P^{-1}\xi
  • n阶矩阵A的一个特征值为\lambda,\xi为对应的特征向量 ，f(x)为一个多项式，f(A)的一个特征值为f(\lambda)，特征向量为\xi
  • A为n阶矩阵，A可逆\impliesA的特征值\neq 0
  • A^{-1} =\frac{1}{|A|}A^{*}
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