第一章 行列式
一．知识体系
（一）行列式的概念
1.行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数值，它本质上代表一个数值，而矩阵是一个数表格，行列式在每一章都有应用。行列式值是不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）。
行列式是特征值的乘积，它是行列式的行向量或者列向量所构成的超平行多面体的有向线段或者有向面积或者有向体积累加的代数和，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
另一个解释是矩阵A的行列式是线性变换A的图形面积或者体积的伸缩因子。
2. 行列式分阶类型：
一阶行列式：数值可正可负。
二阶行列式：主对角线乘积减去副对角线乘积
三阶行列式：主对角线乘积减去副对角线乘积，但是在四阶行列式必须用展开公式，不然会有错误。
四阶行列式及以上，不能使用二阶或者三阶行列式的对角线相减的方法！！！
......
n阶行列式：n！项，排列，逆序，逆序数-偶排列或者奇排列
3. n阶行列式定义公式:
不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项），完全展开式。
特殊行列式：上三角行列式，范德蒙行列式，等和行列式。。。。
（二）行列式的性质（运用行列式性质恒等变形，将一般化为特殊）
1.经过转置行列式不变。
2.某行有公因式k，把k提出；特别地，如有某行元素全为0，则D=0
3.两行互换，则行列式的值变号。
特别地，某两行元素相同则D=0；
特别地，某两行元素成比例，则D=0。
4.如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式的和。（往届同学总是容易失误）
5.某行的k倍加到另一行，行列式的值不变。（用的最多：创造0；或者创造公因式k；创造成特征行列式--上三角行列式，等和行列式，拉普拉斯行列式）
（三）行列式的计算公式
1.余子式与代数余子式概念
余子式：去掉一行去掉一列。Mij
代数余子式：Aij=(-1)i+j .Mij.
2.行列式降阶展开公式（先利用5性质凑0，然后再用）
定理：¦A¦=a11*A11+a12A12+----+a1nA1N
=a11A11+a21A21+---+an1AN1
推理：a11*A21+a12A22+----+a13A23=0
3.上三角公式=下三角公式=a11*a22--ann
4.副对角线公式=(-1)1/2n(n-1)a1n*a2n-1....
5.拉普拉斯公式主=¦A¦.¦B¦
拉普拉斯公式副=(-1)n*m¦A¦.¦B¦()没有记住，狠狠记住！！！！
6范德蒙公式=（X2-X1）(X3-X1)(X3-X2)
7.等和行列式公式=K*，提取公因式
8.爪行行列式
处理方案：可用主对角线元素化为其为上三角行列式计算。
（1）对对角线元素化为1；
（2）第一行加加减减，凑0；
9.抓对角线以外的两个数，凑0并具备提取公因式。这是求行列式求特征值的一个常见技巧，适用95%考研真题。但是不要陷入法执。
10.三斜线行列式，需要用递推关系式计算，这个我目前不会
（四）行列式的克拉默法则
1.N个方程N个未知数的非齐次方程组，D不等于0
则方程组有唯一解且X1=D1/D,X2=D2/D。。。。
①一般出现在证明题上，不在于线性方程组计算上-计算量大--用矩阵初等行变换。
②数三考过，但是以范德蒙行列式这个特殊行列式。
2.N个方程N个未知数的齐次方程组，D不等于0，则方程组只有一组零解。
3.一个齐次方程组有非零解，则它的系数行列式为0，A秩小于N。
（五）方阵行列式性质
1.¦AT¦=¦A¦
2.¦kA¦=kn¦A¦
3.¦A.B¦=¦A¦¦B¦
4.¦A*¦=¦¦A¦*A-1¦=¦A¦n*/¦A¦=¦A¦(n-1)
5.¦A-1¦=1/¦A¦
6.¦A¦=
1*
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2*
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3 特征值之积
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7.A相似于B，则¦A¦=¦B¦
二．题型体系
（一）N阶行列式概念问题
题型1:利用N阶行列式完全展开式性质的问题
题目：1.李艳芳线性代数基础课B站--行列式第一节例1.
2.2021III 15题 填空题。
3.李正元复习全书例1.1.（正）
4..李正元复习全书例1.2.（正）
5.李正元复习全书例1.3.（正）
（二）具体型行列式题型
低阶行列式或者元素有规律或者递推行列式，采用三角化法，公式法，递推关系法；常用技巧：直接按照行或者列展开；行列式的基本性质；把第一行KI倍加到第i行；把每行（列）都加到第一行（列）；逐行（列）相加。
题型2普通低阶行列式时，（1）运用到行列式5条性质。（2）常见运算技巧：某行K倍加到另一行；先把各行加第一行/列；逐行相加（3）再运用10个特殊行列式公式。
题型3.等和行列式：先把各行加第一行/列，提出公因式；然后利用上三角公式。
题型4.爪行行列式：对角线元素凑成1，然后再凑零且降阶展开式
题型5.三对角线行列式：通常采用三角化法，普遍是递推归纳法，这是本章的一个重难点，人家会咱们必须学会，都是人类。
题型6:对低阶行列式的展开式进行逆应用，构造新行列式，求值。
题目：李艳芳线代基础课例题，参考。
（三）抽象型行列式题型
用行列式的性质，方阵与矩阵性质，用特征值与相似理论，向量性质等来解决抽象行列式问题。
题型7.¦A+B¦型列分块的计算，
已有矩阵方程或者向量方程，通过构造新向量，运用行列式的5条基本性质，然后予以计算。
题目：李正元复习全书例1.5（正，很妙！）
题目2006 III 4题 抽象行列式计算（矩阵方程与行列式）
题目2010 III 13题 抽象行列式计算（矩阵方程与行列式）
题型8:方阵，矩阵与抽象行列式性质应用小题
因为方阵行列式公式多，矩阵转置，逆矩阵，伴随矩阵，矩阵的秩等公式性质比较零碎，比较综合。
A.B=0是考题题目一个常见条件。必须立即对两点形成条件反射：B的列向量是齐次方程组AX=0的解； r（A）+r(B)≦N.
题目2009III 5题 抽象行列式计算（方块矩阵与行列式）
题型9特征值与行列式结合逆小题
利用特征多项式，相似理论等与特征值有关性质，将特征值与行列式结合逆小题，必须结合6种求抽象特征值运算方法，只有完整掌握，才能突破这个小点。
2008 III 13题 抽象行列式计算（特征值与行列式）
题型10行列式与向量
n个n维向量线性相关的充要条件是¦A¦=0。在李正元复习全书中例1.9不会做，就是因为这个性质没有记住，请牢牢记住！
（四）克拉默法则问题
1.N个方程N个未知数的非齐次方程组，D不等于0则方程组有唯一解且X1=D1/D,X2=D2/D。。。。
2.N个方程N个未知数的齐次方程组，D不等于0，则方程组只有一组零解。
3.一个齐次方程组有非零解，则它的系数行列式¦A¦=0，或者r(A)小于N。
（五）代数余子式概念问题
1.利用展开公式逆运用，替换某一行求D*
2.求各余子式Mij（去掉一行去掉一列）之和
求余子式之和可以利用代数余子式：Aij=(-1)i+jMij，反向运用Mij=(-1)i+jAij，
替换某行（列）成新行列式¦B¦,求之。
题目：2001，4 李永乐线性代数辅导讲义 例1.26，这个题目有几个解法，很不错！
题目：李永乐线性代数辅导讲义 例1.27，这个题很秒！！但是我还没有学会。
（六）证明¦A¦=0，
1.AX=0有非零解；2.r(A)小于N。3.0 是特征值；4.¦A¦=-¦A¦；5.反证法
三．行列式的应用与联系体系
（一）行列式与矩阵：可逆的证明
伴随矩阵求逆
（二）行列式与向量：线性相关（无关）的判定
（三）行列式与线性方程组：Ax=0有非零解
克拉默法则
（四）行列式与特征值特征向量：特征值计算
（五）行列式与二次型：二次型正定性判定
