问题描述

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.
For example, given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).
Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.
Hint:

1. There is a simple O(n) solution to this problem.
2. You may check the breaking results of n ranging from 7 to 10 to discover the regularities.

问题分析

解题方法：在避免1的情况下，尽量多地分解出3。
如果知道这么做，那么实现是很简单的，难点在于证明这样做的正确性。
证明部分：

1. 不应保留大于4的因子。若n大于4，则2 x (n-2) > n， 即存在更好的分解。
2. 不应存在1（除特殊情况，如分解2）。n >=3时，2 x (n-2) >= n-1，即存在更好的分解。
3. 通过1和2可知，4可以分解为2+2，因此最终分解式可以只含因子2和3。
4. 6 = 2+2+2 = 3+3，而3 x 3 > 2 x 2 x 2， 因此最终分解中2不会多于2个。
5. 综上可以得到解题方法：在n>4时，从n中分离出最多的3，然后与剩余n相乘即可。

AC代码

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n < 4:
            return n-1
        r = 1
        while n > 4:
            r *= 3
            n -= 3
        return r * n

Runtime: 38 ms, which beats 98.80% of Python submissions.