小學生算術題🧮紛爭第九彈🤕：幻方 & 群論

前天，妞姐問了個好問題——一個簡易版的幻方問題：把 2, 4, 6, 8, 10 填入下面的五個圓圈中，讓橫、竪、環上之和都相等。

⚠️之所以第一眼就認定它是「好問題」，是因為它符合「好問題是下金蛋🥚的雞🐔」這個定義。可以讓小朋友體會到「真的有不可交換的乘法」，也可以深扒和群論的關係⋯⋯

比如，我們先隨便填上：

橫之和是 10 + 8 + 4 = 22 ；
竪之和是 2 + 8 + 6 = 16 ；
環上之和是 2 + 4 + 6 + 10 = 22 ；

那麼，怎麼調整才能讓三個和相等呢？

手工嘗試

1⃣️ 先對調 10 和 8 ：

2⃣️ 再對調 2 和 4 ：

現在：

橫之和是 8 + 10 + 2 = 20 ；
竪之和是 4 + 10 + 6 = 20 ；
環上之和是 4 + 2 + 6 + 8 = 20 ；

搞定💪🏻。

如何找到一般化解法？

把橫向定義為 x 軸，縱向定義為 y 軸，環向定義為 z 軸：

$\begin{cases} S_x = d + o + b \\ S_y = a + o + c \\ S_z = a + b + c + d \end{cases}$

直覺告訴我們，這是個群，所有交換操作都可以由少數幾個基操組合得到。我們不妨先看看「逆時針輪轉一位環上的數」（暫且把這個操作叫做 $\sigma_{z}^{counterclockwise}$ ）

$\begin{cases} \overline{S_x} = a + o + c &= S_y \\ \overline{S_y} = b + o + d &= S_x \\ \overline{S_z} = b + c + d + a &= S_z \end{cases}$

∵ x 軸和 y 軸是對稱的，∴必然可以用 x 軸上的交換操作和 $\sigma_{z}^{counterclockwise}$ 組合而成 y 軸上的交換操作。我們不妨把交換 x 軸上右側兩個數的操作記作 $\sigma_{x}^{+}$ ：

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + b + o &= S_x \\ \overline{S_y} = a + b + c &= S_y - (o - b) \\ \overline{S_z} = a + o + c + d &= S_z + (o - b) \end{cases}$

⚠️觀察到：動 x 軸不會改變 x 軸之和；同時，另外兩軸會加減某一差值。這個觀察非常關鍵——本來我們需要同時考慮 3 個軸上的調整，有了這個觀察，現在只需要考慮按住中間值那根軸，調減最大和，調增最小和，就行了。可見，發掘問題的結構，可以有效降低問題空間的搜索維度。

其他的交換操作想必用 $\sigma_{z}^{ccw}$ 和 $\sigma_{x}^{+}$ 組合就能得到。驗證一下，比如沿 y 軸翻轉（記為 $\sigma_{y}^{flip}$ ）：

可以拆解為：

1⃣️ $\sigma_{x}^{+}$

2⃣️ $\sigma_{z}^{ccw}$

3⃣️ $\sigma_{z}^{ccw}$

4⃣️ $\sigma_{x}^{+}$

5⃣️ $\sigma_{z}^{ccw}$

6⃣️ $\sigma_{z}^{ccw}$

7⃣️ $\sigma_{x}^{+}$

$∴ \sigma_{y}^{flip} = \sigma_{x}^{+} \cdot \sigma_{z}^{ccw} \cdot \sigma_{z}^{ccw} \cdot \sigma_{x}^{+} \cdot \sigma_{z}^{ccw} \cdot \sigma_{z}^{ccw} \cdot \sigma_{x}^{+}$

找到套路

把所有的操作影響分析一遍：

x 軸上的交換： $\sigma_{x}^{+}$ v.s. $\sigma_{x}^{-}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + b + o &= S_x \\ \overline{S_y} = a + b + c &= S_y - (o - b) \\ \overline{S_z} = a + o + c + d &= S_z + (o - b) \end{cases}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = o + d + b &= S_x \\ \overline{S_y} = a + d + c &= S_y - (o - d) \\ \overline{S_z} = a + b + c + o &= S_z + (o - d) \end{cases}$

y 軸上的交換： $\sigma_{y}^{+}$ v.s. $\sigma_{y}^{-}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + a + b &= S_x - (o - a) \\ \overline{S_y} = o + a + c &= S_y \\ \overline{S_z} = o + b + c + d &= S_z + (o - a) \end{cases}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + c + b &= S_x - (o - c) \\ \overline{S_y} = a + c + o &= S_y \\ \overline{S_z} = a + b + o + d &= S_z + (o - c) \end{cases}$

$\Delta \stackrel{def}{\Longrightarrow} o - 環上的交換點$

象限	$\overline{S_x}$	$\overline{S_y}$	$\overline{S_z}$
$\sigma_{x}^{+}$	$S_x$	$S_y - \Delta$	$S_z + \Delta$
$\sigma_{x}^{-}$	$S_x$	$S_y - \Delta$	$S_z + \Delta$
$\sigma_{y}^{+}$	$S_x - \Delta$	$S_y$	$S_z + \Delta$
$\sigma_{y}^{-}$	$S_x - \Delta$	$S_y$	$S_z + \Delta$

環上的交換： $\sigma_{z}^{I}$ v.s. $\sigma_{z}^{II}$ v.s. $\sigma_{z}^{III}$ v.s. $\sigma_{z}^{IV}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + o + a &= S_x - (b - a) \\ \overline{S_y} = b + o + c &= S_y + (b - a) \\ \overline{S_z} = b + a + c + d &= S_z \end{cases}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = a + o + b &= S_x + (a - d) \\ \overline{S_y} = d + o + c &= S_y - (a - d) \\ \overline{S_z} = d + b + c + a &= S_z \end{cases}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = c + o + b &= S_x - (d - c) \\ \overline{S_y} = a + o + d &= S_y + (d - c) \\ \overline{S_z} = a + b + d + c &= S_z \end{cases}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + o + c &= S_x + (c - b) \\ \overline{S_y} = a + o + b &= S_y - (c - b) \\ \overline{S_z} = a + c + b + d &= S_z \end{cases}$

$\Delta \stackrel{def}{\Longrightarrow} 逆時針計起點 - 逆時針計終點$

象限	$\overline{S_x}$	$\overline{S_y}$	$\overline{S_z}$
I	$S_x - \Delta$	$S_y + \Delta$	$S_z$
II	$S_x + \Delta$	$S_y - \Delta$	$S_z$
III	$S_x - \Delta$	$S_y + \Delta$	$S_z$
IV	$S_x + \Delta$	$S_y - \Delta$	$S_z$

翻轉： $\sigma_{x}^{flip}$ v.s. $\sigma_{y}^{flip}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = d + o + b &= S_x \\ \overline{S_y} = c + o + a &= S_y \\ \overline{S_z} = c + b + a + d &= S_z \end{cases}$

$\begin{cases} \overline{S_x} = b + o + d &= S_x \\ \overline{S_y} = a + o + c &= S_y \\ \overline{S_z} = a + d + c + b &= S_z \end{cases}$

象限	$\overline{S_x}$	$\overline{S_y}$	$\overline{S_z}$
沿 x 軸翻轉	$S_x$	$S_y$	$S_z$
沿 y 軸翻轉	$S_x$	$S_y$	$S_z$

⚠️即翻轉操作均不會改變各軸之和。

程序驗證

太麻煩了，還是寫程序驗證吧：

class Cycle
    attr_reader :ring, :center, :sum_x, :sum_y, :sum_z

    def initialize(a, b, c, d, o)
        @ring, @center = [a, b, c, d], o
        @sum_x = b + o + d
        @sum_y = a + o + c
        @sum_z = a + b + c + d      # sum_z = sum_x + sum_y - 2*o
    end

    def op_counterclockwise 
        @sum_x, @sum_y = @sum_y, @sum_x
        @sum_z = @sum_z

        header = @ring.shift
        @ring.push header
    end

    def op_clockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
    end

    def op_x
        @sum_x = @sum_x
        delta = @center - @ring[1]
        @sum_y = @sum_y - delta
        @sum_z = @sum_z + delta

        @center, @ring[1] = @ring[1], @center
    end

    def op_y
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_x
        self.op_counterclockwise
    end

    def op_swap_II
        self.op_y
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_x
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_y
    end

    def op_swap_I
        self.op_counterclockwise
        self.op_swap_II
        self.op_clockwise
    end

    def op_swap_III
        self.op_clockwise
        self.op_swap_II
        self.op_counterclockwise
    end

    def op_swap_IV
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_swap_II
        self.op_clockwise
        self.op_clockwise
    end

    def op_flip_y
        self.op_x
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_x
        self.op_counterclockwise
        self.op_counterclockwise
        self.op_x
    end

    def op_x_minus
        self.op_flip_y
        self.op_x
        self.op_flip_y
    end

    def op_flip_x
        self.op_counterclockwise
        self.op_flip_y
        self.op_clockwise
    end

    def op_y_minus
        self.op_flip_x
        self.op_y
        self.op_flip_x
    end

    def display
        puts "\t" + " "*4 + " y"
        puts "\t" + " "*4 + " ↑"
        puts "\t" + " "*4 + " "
        puts "\t" + " "*4 + " #{@ring[0]}"
        puts "\t" + " "*4 + " |"
        puts "#{@ring[3]}\t---- #{@center} ---- #{@ring[1]}   ➡︎ x"
        puts "\t" + " "*4 + " |"
        puts "\t" + " "*4 + " #{@ring[2]}"
        puts
        puts "x:\t#{@ring[3]} + #{@center} + #{@ring[1]} \t\t= #{@sum_x}"
        puts "y:\t#{@ring[0]} + #{@center} + #{@ring[2]} \t\t= #{@sum_y}"
        puts "z:\t#{@ring[0]} + #{@ring[1]} + #{@ring[2]} + #{@ring[3]} \t= #{@sum_z}"
    end
end

c = Cycle.new(2, 4, 6, 10, 8)
c.display

puts "-"*20 + " operator ... " + "-"*20
c.op_x_minus
c.op_swap_I
c.display

輸出：

         y
         ↑
         
         2
         |
10  ---- 8 ---- 4   ➡︎ x
         |
         6

x:  10 + 8 + 4      = 22
y:  2 + 8 + 6       = 16
z:  2 + 4 + 6 + 10  = 22
-------------------- operator ... --------------------
         y
         ↑
         
         4
         |
8   ---- 10 ---- 2   ➡︎ x
         |
         6

x:  8 + 10 + 2      = 20
y:  4 + 10 + 6      = 20
z:  4 + 2 + 6 + 8   = 20

跑了一下， $5! = 120$ 種可能中，只有 8 種滿足約束。

好了，現在的問題是「怎麼教會小朋友？」了😅？

附上 TikZ 畫圖代碼：

\documentclass[tikz]{standalone}
%\usepackage{draculatheme}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
    % 定义全局参数
    \def\radius{2cm}       % 大圆半径
    \def\nodeRadius{0.5cm} % 节点圆半径
    \def\xShift{8cm}       % 水平偏移量
    
    % 定义绘制魔法圈的宏
    \newcommand{\drawMagickCircle}[9]{
        % 绘制节点
        \coordinate (O) at (0, 0);
        \coordinate (A) at (0, \radius);
        \coordinate (B) at (\radius, 0);
        \coordinate (C) at (0, -\radius);
        \coordinate (D) at (-\radius, 0);
        
        % 绘制外部的大圆
        \draw [thick, teal] (O) circle (\radius);
        
        % 绘制中间的十字线
        \draw [thick, teal] (A) -- (C);
        \draw [thick, teal] (D) -- (B);
        
        % 绘制各小圆
        \foreach \i/\v in {O/#1, A/#2, B/#3, C/#4, D/#5} {
            \draw [fill, teal] (\i) circle (\nodeRadius);
            \draw [fill, white] node at (\i) {$\v$};
        }
        
        % 绘制高亮小圆
        \foreach \i/\v in {#6/#7, #8/#9} {
            \filldraw [thick, yellow!30] (\i) circle (\nodeRadius);
            \draw [fill, black] node at (\i) {$\v$};
        }
    }
    
    \begin{scope}
        \drawMagickCircle{O}{A}{B}{C}{D}{O}{O}{A}{A};
    \end{scope}
    
    \node at (\xShift / 2, 0) { $ \stackrel{\sigma_{y}^{+}}{\Longrightarrow} $ };
    
    \begin{scope}[xshift=\xShift]
        \drawMagickCircle{A}{O}{B}{C}{D}{O}{A}{A}{O};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Ref: