关于集合论的读书笔记

1. 集合的概括

该如何定义集合, 这不是一个容易的问题, 历史上, Georg. Cantor (1845-1918) 给出了如下的定义

一个集是由我们思想中的或者可感知的一些确定的,可以分辨的对象所组成,并被看成一个整体的任意一个集体.

当然, 站在今天数学的视角下来看审视 Georg. Cantor 的这个定义,我们说他的定义只能算是一个概括, 作为数学上的定义是不合适的, 在 Georg. Cantor 的定义中有好几处模糊不清, 比若我们自然可以提出如下问题:

什么叫做可感知的?
什么叫做确定的?
什么叫做可分辨的?
什么又是对象?

对于这些问题, 显然非平凡的,大家现在知道,今天的人工智能科学发展的一个重要问题就是要研究可感知性,可分辨性, 所以 Georg. Cantor 的定义并没有将问题讲清楚.

那么 Georg. Cantor 所概括的东西到底应该算什么? 答案是类. 换句话说,由于 Georg. Cantor 这种概括方式太过于自由, 其概括处理的东西不能成为今天我们称为集合论研究的对象, 当然是不是说其就不是数学的对象了呢, 当然也不是, 今天的范畴论就要考虑将所以的集合收集起来构成的类, 只不过这种对象, 考虑基数等概念是不合适的.

2. 常用的集合

自然数集: $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ ,这个记号来自英文 natural numbers

整数集: $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots\}$ ,这个记号来自德文 Zahlen

有理数集: $\mathbb{Q}$ ,这个记号来自英文 Quotient

实数集: $\mathbb{R}$ ,这个记号来自英文 Real numbers

复数集: $\mathbb{C}$ ,这个记号来自英文 Complex numbers

3. 集合的表示方法

对于集合,我们用大括号来记集,通常有两种办法来描述一个集.

办法 1:用大括号来记集, 在括号中写出集的少数几个元素,然后用省略号表示构成集的元素的满足的规则是大家知道的或者是明显的.这种方法称为列举法.

办法 2:用大括号来记集,在大括号中写出构成集的元素满足的规则.这中方法称为描述法.

3.1 列举法

我们并没有一个明显地写出集的所以元素的方法,在通常情况下,我们采用列举和描述这两种方式.显然,自然数集按器本性就不能明显地列举出它的所有元素,描述
$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$
中省略号留下了很多的想象.

这种方法种,方法是有局限性的,事实上,中学教师常犯的错误是将下面的集合
$\{1,2,3,5,\dots\}$
看成Fibonacci 序列,显然,省略号后面真有无穷的想象.它为什么不可以是 1 和所有正素数构成的集呢.

3.2 描述法

通常要准确地表示清楚一个集合,我们通常使用描述法,通常的办法如下
$\{x \in \Omega | P(x)\}$
这样处理的前提实质是我们已经给定了一个集合,然后使用规则 $P$ 来构造新的集合.

上面的式子正确的读法是

所以 $x$ 的集, $x$ 满足规则 $P$ ,其中 $x$ 后面的竖线读为满足或者使得.

4. 公理集合论

数学发展的模式是以一定的概念,公理为基础,然后在此基础上,通过逻辑,计算的方法,导出在正确的逻辑推理和计算下命题,定理,等其他的数学模型, 在这个模式下,我们知道,这个推理和计算的基础就一定得有一个起点,当然人们自然期望这些起点得概念,公理是不言自明的,但是事实上这不过是一个理想,因为概念的定义也必须用已经清楚明白的概念来定义和描述还未清楚的概念,对象,因此,在这个推理模式下,就算是概念也必然有一个出发点,注意,在数学的角度来看,循环定义是不允许的(这是做数学的人必须承认的公理, 很难想象,某些学科种某些人,循环论证和循环定义在他们的逻辑里居然合理),因此在这个逻辑链条下,比如有若干出发点, 而这些出发点将无法使用已经清楚的概念或者命题加以描述,这些不能使用在逻辑链条更前面的概念和命题就称为基础概念和公理.

下面的问题自然就是如何挑选基础概念和公理的问题,哪些概念才合适作为基础概念和公理,显然在此比如包含人的问题了,因为不同的人可能的出发点的不同会选取不同的概念作为基础概念,选取不同的命题作为公理,事实证明,这样的事情在历史上是真实发生的,比如与选择公理等价的命题就是一个典型.

目前,大部分数学家认为将数学推理的起点建立在集合上是合适的,注意,不要错误理解为是将所以的数学分支的基础概念和公理都建立在集合的基础上,只不过目前很多数学分支都可以建立在集合的基础上,自然还有许多学科的基础概念和公理比如要超出集合论的范畴(哥德尔不完备性定理就告诉我们这件事必然发生).

4.1 公理集合论(axiomatic set theory)

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (/zɜːrˈmɛloʊ/, German: [tsɛɐ̯ˈmeːlo]; 27 July 1871 – 21 May 1953) was a German logician and mathematician, whose work has major implications for the foundations of mathematics. He is known for his role in developing Zermelo–Fraenkel axiomatic set theory and his proof of the well-ordering theorem.

Ernst Zermelo graduated from Berlin's Luisenstädtisches Gymnasium (now Heinrich-Schliemann-Oberschule [de]) in 1889. He then studied mathematics, physics and philosophy at the universities of Berlin, Halle and Freiburg. He finished his doctorate in 1894 at the University of Berlin, awarded for a dissertation on the calculus of variations (Untersuchungen zur Variationsrechnung). Zermelo remained at the University of Berlin, where he was appointed assistant to Planck, under whose guidance he began to study hydrodynamics. In 1897, Zermelo went to Göttingen, at that time the leading centre for mathematical research in the world, where he completed his habilitation thesis in 1899.

In 1910, Zermelo left Göttingen upon being appointed to the chair of mathematics at Zurich University, which he resigned in 1916. He was appointed to an honorary chair at the University of Freiburg in 1926, which he resigned in 1935 because he disapproved of Adolf Hitler's regime. At the end of World War II and at his request, Zermelo was reinstated to his honorary position in Freiburg.

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo.jpg

Abraham Fraenkel (Hebrew: אברהם הלוי (אדולף) פרנקל‎; February 17, 1891 – October 15, 1965) was a German-born Israeli mathematician. He was an early Zionist and the first Dean of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem. He is known for his contributions to axiomatic set theory, especially his additions to Ernst Zermelo's axioms, which resulted in the Zermelo–Fraenkel axioms.

Abraham Fraenkel.jpg

对类进行限制有许多的方案,今天比较成熟的方案就是由 Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo 和 Abraham Fraenkel 为代表的数学家给出的 ZFC 方案, 其中 ZF 自然是这两人姓的首字母缩写, 而 C 代表的是选择公理 (Axiom of Choice).

其基本的要点大概是要讨论一个集, 你首先得先给出一个集, 然后由一定的规则导出一下新的集.

当然这套精确的构作模式辉煌的应用大概是连续统假设的独立性的证明,当然后来的人们将其应用到其他数学分支,比如拓扑学中构成集论拓扑.

注意: 纯粹站在集合论的视角来学习集合论是很难受的, 其实学习集合论还需要数理逻辑,至少是初步的数理逻辑知识是有必要的, 否则根本很难明白这些集合论的书籍到底在说什么.

4.2 ZF 系统的公式

逻辑连接词

逻辑连接词含义

$\urcorner$ 否定

$\or$ 或

$\and$ 且

$\rightarrow$ 蕴含

$\leftrightarrow$ 当且仅当
量词

量词含义例子

$\forall$ 对于每一个 $\forall n \in \mathbb{N}$

$\exists$ 存在 $\exists n \in \mathbb{N}$
关系词

关系词含义例子

$=$ 相等 $1=2$

$\in$ 属于 $1 \in \mathbb{N}$
可数个变元
$x,y,z,\dots, (可带下标)$
括号

括号含义

( 左括号

) 右括号

逻辑连接词	含义
$\urcorner$	否定
$\or$	或
$\and$	且
$\rightarrow$	蕴含
$\leftrightarrow$	当且仅当

量词	含义	例子
$\forall$	对于每一个	$\forall n \in \mathbb{N}$
$\exists$	存在	$\exists n \in \mathbb{N}$

关系词	含义	例子
$=$	相等	$1=2$
$\in$	属于	$1 \in \mathbb{N}$

括号	含义
(	左括号
)	右括号

定义: 由以上符号中有限个符号按照如下规则形成的字符串称为公式

规则 1 : $x \in y,x=y$ 是公式, 称为原子公式, 其中 $x,y$ 可以换成其他符号.

规则 2 : 如果 $\varphi, \psi$ 是公式,则
$\begin{align*} \urcorner \varphi\\ (\varphi) \or (\psi)\\ (\varphi) \and (\psi)\\ (\varphi) \rightarrow (\psi)\\ (\varphi) \leftrightarrow (\psi)\\ \forall x (\varphi)\\ \exists (\varphi) \end{align*}$
都是公式, 其中 $x$ 可以换成其他的符号.

5. 函数

设 $f$ 是集 $X$ 到 $Y$ 上的一个关系,如果 $f$ 满足如果 $(x,y) \in f$ , $(x,z) \in f$ , 那么 $y=z$ ,那么我称 $f$ 是集 $X$ 到 $Y$ 的一个函数.

6. 集合的计数

包含-排斥原理:
$\begin{align} |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\\ |A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \dots A_{n}|&=\sum_{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum_{i<j} A_{i}\cap A_{j}+\cdots+|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \dots A_{n}|\\ &=\sum_{k=0,i_1<i_2<\cdots<i_k}^{n}|A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k}| \end{align}$