1.1 集合

1.1集合

一、集合的概念

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

二、集合的表示方式

1、列举法
2、描述法
3、图示法

三、集合的性质

1、确定性
2、互异性
3、无序性

四、集合与集合的关系

1、子集：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A是B的子集。记作A $\subseteq$ B(或B $\supseteq$ A)
2、真子集：若A $\subseteq$ B,且至少有b∉A，b∈B，则称A是B的真子集，记作A $\subset$ B(或B $\supset$ A)
3、空集：不含任何元素的集合叫做空集，通常记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。集合问题时，千万别忘了考虑空集的情况。
说明：0，{0}，∅，{∅}。0是数，不是集合；{0}指一个集合中含有一个元素0；∅指不含任何元素的集合；{∅}指一个集合中含有一个元素，这个元素是∅。

A $\subseteq$ B，A是B的子集
A $\supseteq$ B，B是A的子集
A $\subset$ B，A是B的真子集
A $\supset$ B，B是A的真子集
A=B，集合A等于集合B

五、集合间的运算

一共四种关系：交集，并集，全集，补集

集合的运算律

交换律：
A ∩ B =B ∩ A
A ∪B =B ∪A

结合律
A ∩ (B∩C）= (A∩B）∩ C
A ∪(B∪C) = (A∪B) ∪ C

分配律
A ∩ (B∪C）= (A∩B）∪ (A∩C)
A ∪ (B∩C）= (A∪B）∩ (A∪C)

德.摩根定律
$C_s(A∩B)$ = ( $C_sA$ )∪( $C_sB$ )
$C_s(A∪B)$ = ( $C_sA$ )∩( $C_sB$ )

六、集合中子集的个数

1、由n个元素组成的集合A，则有
A的子集个数为 $2^n$ 个
A的真子集个数为 $2^n$ -1个
A的非空子集个数为 $2^n$ -个
A的非空真子集个数为 $2^n$ -2个
2、设集合A、B分别为含有n、m个元素的有限集，则有：
若B⊆C⊆A,则C的个数为 $2^{n-m}$ 个
若B⊆C⊂A,则C的个数为 $2^{n-m}-1$ 个
若B⊂C⊆A,则C的个数为 $2^{n-m}-1$ 个
若B⊂C⊂A,则C的个数为 $2^{n-m}$ -2个

七、韦恩图(Venn)

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图。
韦恩图常用来用作集合间的计算时使用。

八、偶数集与奇数集表示

1、{偶数}={x/x=2n,n∈z}
2、{奇数}={x/x=2(n $\pm$ 1),n∈z}

九、说明

1、真子集必是子集，子集不一定是真子集。
2、任何一个集合是它本身的子集
3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

十、集合知识联系

1、集合与逻辑联结词关系

①用并集的概念来理解“或”
②用交集的概念来理解“且”
③用补集的概念来理解“非”

2、条件概率

两事件同时发生概率：P（A∩B）
两事件其中一个发生概率：P（A∪B）
两事件都不发生概率：P( $C_s(A∪B)$ )

3、函数的定义域与值域

用区间或者带{}的形式表示

4、不等式的解集

用区间或者带{}的形式表示

5、函数单调性范围

用区间或者带{}的形式表示

6、数的扩充中数集的表示

复数(C),虚数(I),实数(R),整数(Z)，正整数( $N^*或N_+$ )，自然数(N)，有理数(Q)

7、集合子集的个数与二项式定理

集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},集合A的子集个数为: $c_{10}^0+c_{10}^1+c_{10}^2+c_{10}^3+c_{10}^4+c_{10}^5+c_{10}^6+c_{10}^7+c_{10}^8c_{10}^9+c_{10}^{10}$ = $(1+1)^{10}$ = $2^{10}$

8、从集合角度看命题

建立命题p，q相应的集合：p：A={x/p(x)成立},q：B={x/q(x)成立},那么
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊂ B，则p是q的充分不必要条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B⊂ A，则p是q的必要不充分条件；
③若A=B，则p是q的充要条件；
④若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件。

十一、基础例题

1、集合举例：

{高一1班的女生}
{电影《无双》的所有演员}
{期中考试进步的所有学生}
{王者荣耀中所有的英雄}
{周杰伦作曲的歌曲}

2、